Dispersijas mērījumi: dispersija un standartnovirze

Pētījumā Statistika, mums ir dažas stratēģijas, lai pārbaudītu, vai datu kopā norādītās vērtības ir izkliedētas vai nav un cik tālu tās var būt. Instrumenti, kas izmantoti, lai to panāktu, tiek klasificēti kā izkliedes pasākumi un piezvanīja dispersija un standartnovirze. Apskatīsim, ko katrs no viņiem pārstāv:

Dispersija:

• Ņemot vērā datu kopu, dispersija ir izkliedes mērs, kas parāda, cik tālu katra šīs kopas vērtība ir no centrālās (vidējās) vērtības.

• Jo mazāka dispersija, jo tuvāk vērtības ir vidējai; bet jo lielāks tas ir, jo tālāk vērtības ir no vidējā.

• Apsveriet to x₁, x₂,…, X_Nētie ir Nē a elementi paraugs vai tas ir X un šo elementu vidējais aritmētiskais. Rēķins parauga dispersija To piešķir:

  Var. paraugs = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_Nē – x)²
  ​n - 1

• No otras puses, ja mēs vēlamies aprēķināt iedzīvotāju dispersija, mēs ņemsim vērā visus populācijas elementus, ne tikai izlasi. Šajā gadījumā aprēķinam ir neliela atšķirība. Skatīties:

  Var. populācija = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_Nē – x)²
  Nē

Standarta novirze:

• Standarta novirze spēj identificēt “kļūdu” datu kopā, ja kādu no apkopotajām vērtībām mēs gribējām aizstāt ar vidējo aritmētisko.

• Standarta novirze parādās blakus vidējam aritmētiskajam, informējot, cik šī vērtība ir “uzticama”. Tas tiek parādīts šādi:

  vidējais aritmētiskais (x) ± standartnovirze (sd)

• Standartnovirzes aprēķins tiek veikts no dispersijas pozitīvās kvadrātsaknes. Tādēļ:

  dp = √var

Tagad piemēros izmantosim dispersijas un standartnovirzes aprēķinu:

Vienā skolā valde nolēma aplūkot to skolēnu skaitu, kuriem visos mācību priekšmetos visas atzīmes pārsniedz vidējo līmeni. Lai to labāk analizētu, režisore Ana nolēma gada laikā salikt tabulu ar “zilo” pakāpju daudzumu četru klašu izlasē. Sk. Zem direktora organizētās tabulas:

Pirms dispersijas aprēķināšanas ir jāpārbauda vidējais aritmētiskais(x) skolēnu skaits, kas pārsniedz vidējo līmeni katrā klasē:

6. gads → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. gads → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. gads → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. gads → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Lai aprēķinātu skolēnu skaita dispersiju virs vidējā līmeņa katrā klasē, mēs izmantojam a paraugs, tāpēc mēs izmantojam formulu parauga dispersija:

Var. paraugs = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_Nē – x)²
n - 1

6. gads → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. gads → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. gads → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. gads → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Kad ir zināma katras klases dispersija, tagad aprēķināsim standartnovirzi:

6. gads dp = √var dp = √4.33 ​dp ≈ 2,08

7. gads dp = √var dp = √8.00 ​dp ≈ 2,83

8. gads dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

9. gads dp = √var dp = √13,66 ​dp ≈ 3,70

Lai pabeigtu analīzi, direktore var uzrādīt šādas vērtības, kas norāda vidējo studentu skaitu, kas pārsniedz vidējo aptaujāto klasi:

6. gads: 7,50 ± 2,08 studenti virs vidējā termiņa;
7. gads: 8,00 ± 2,83 studenti virs vidējā rādītāja divos mēnešos;
8. gads: 8,75 ± 2,63 studenti virs vidējā rādītāja divos mēnešos;
9. gads: 8,50 ± 3,70 studenti virs vidējā divu mēnešu laikā;

Vēl viens izkliedes mērs ir variācijas koeficients. Skaties šeit kā to aprēķināt!

Autore Amanda Gonsalvesa
Beidzis matemātiku

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm