Līdz 16. gadsimta vidum tādi vienādojumi kā x2 - 6x + 10 = 0 vienkārši uzskatīja par “risinājumu nav”. Tas notika tāpēc, ka saskaņā ar Bhaskaras formulu, risinot šo vienādojumu, atrastais rezultāts būtu:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Problēma tika atrasta √– 4, kurai reālo skaitļu kopā nav risinājuma, tas ir, nē ir reāls skaitlis, kas, reizināts ar sevi, dod √– 4, jo 2 · 2 = 4 un (–2) (- 2) = 4.
1572. gadā Rafaels Bombelli bija aizņemts ar vienādojuma x atrisināšanu3 - 15x - 4 = 0, izmantojot Cardano formulu. Izmantojot šo formulu, tiek secināts, ka šim vienādojumam nav reālu sakņu, jo galu galā tas ir nepieciešams, lai aprēķinātu √– 121. Tomēr pēc dažiem mēģinājumiem ir iespējams atrast, ka 43 - 15 · 4 - 4 = 0, un tāpēc x = 4 ir šī vienādojuma sakne.
Ņemot vērā reālu sakņu esamību, kas nav izteikta Cardano formulā, Bombelli radās ideja par to ka √– 121 rezultātā √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 un tas varētu būt „nereāla” sakne vienādojumam mācījies. Tādējādi √– 121 būtu daļa no jauna skaitļa veida, kas veido pārējās šī vienādojuma nepamatotās saknes. Tātad vienādojums x
3 - 15x - 4 = 0, kam ir trīs saknes, reālā sakne būtu x = 4 un divas citas saknes, kas pieder šim jaunajam skaitļu veidam.18. gadsimta beigās Gauss nosauca šos skaitļus kā kompleksie skaitļi. Tajā laikā kompleksie skaitļi jau veidojās a + bi, ar i = √– 1. Turklāt The un B tie jau tika uzskatīti par Dekarta plaknes, kas pazīstama kā Arganda-Gausa plakne, punktiem. Tādējādi kompleksa skaitļa Z = a + bi ģeometriskais attēlojums ir Dekarta plaknes punkts P (a, b).
Tāpēc izteiciens “kompleksie skaitļi”Sāka izmantot, atsaucoties uz skaitlisko kopu, kuras pārstāvji ir: Z = a + bi, ar i = √– 1 un ar The un B kas pieder reālo skaitļu kopai. Šo attēlojumu sauc par kompleksa Z skaitļa algebriskā forma.
Tā kā kompleksos skaitļus veido divi reālie skaitļi, un viens no tiem tiek reizināts ar √– 1, šiem reālajiem skaitļiem ir piešķirts īpašs nosaukums. Ņemot vērā komplekso skaitli Z = a + bi, a ir "Z īstā daļa" un b ir "Z iedomātā daļa". Matemātiski mēs varam rakstīt attiecīgi: Re (Z) = a un Im (Z) = b.
Kompleksā skaitļa moduļa ideja tiek izkristalizēta līdzīgi kā reālā skaitļa moduļa idejai. Ņemot vērā punktu P (a, b) kā kompleksa Z = a + bi ģeometrisko attēlojumu, attālumu starp punktu P un punktu (0,0) izsaka šādi:
| Z | = √(The2 + b2)
Otrais veids, kā attēlot sarežģītus skaitļus, ir Polārā vai trigonometriskā forma. Šī forma savā sastāvā izmanto kompleksa skaitļa moduli. Komplekso skaitli Z, algebriski Z = a + bi, ar polāro formu var attēlot šādi:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Interesanti atzīmēt, ka Dekarta plakni nosaka divas taisnleņķa līnijas, kas pazīstamas kā x un y asis. Mēs zinām, ka reālos skaitļus var attēlot ar līniju, uz kuras ir izvietoti visi racionālie skaitļi. Atlikušās atstarpes tiek aizpildītas ar iracionāliem skaitļiem. Tā kā reālie skaitļi visi ir uz līnijas, kas pazīstama kā X ass no Dekarta plaknes visi pārējie šai plaknei piederošie punkti būtu atšķirība starp kompleksajiem un reālajiem skaitļiem. Tādējādi reālo skaitļu kopa ir iekļauta komplekso skaitļu kopā.
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
