Pētot sarežģītus skaitļus, mēs sastopamies ar šādu vienlīdzību: i2 = – 1.
Šīs vienlīdzības pamatojums parasti ir saistīts ar 2. pakāpes vienādojumu ar negatīvām kvadrātsaknēm atrisināšanu, kas ir kļūda. Izteiksmes izcelsme i2 = - 1 parādās komplekso skaitļu definīcijā, vēl viens jautājums, kas arī rada daudz šaubu. Ļaujiet mums saprast šādas vienlīdzības iemeslu un kā tā rodas.
Pirmkārt, pieņemsim dažas definīcijas.
1. Sakārtotu reālo skaitļu pāri (x, y) sauc par komplekso skaitli.
2. Sarežģīti skaitļi (x1y1) un (x2y2) ir vienādas tikai tad, ja x1 = x2 un y1 = y2.
3. Komplekso skaitļu saskaitīšanu un reizināšanu nosaka:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1) * (x2y2) = (x1* x2 - y1* y2, x1* y2 + y1* x2)
1. piemērs. Apsveriet z1 = (3, 4) un z2 = (2, 5), aprēķiniet z1 + z2 un z1* z2.
Risinājums:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Izmantojot trešo definīciju, ir viegli pierādīt, ka:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0) * (x
Šīs vienādības parāda, ka attiecībā uz saskaitīšanas un reizināšanas operācijām kompleksie skaitļi (x, y) izturas kā reālie skaitļi. Šajā kontekstā mēs varam noteikt šādas attiecības: (x, 0) = x.
Izmantojot šo sakarību un simbolu i, lai attēlotu kompleksa skaitli (0, 1), jebkuru sarežģītu skaitli (x, y) varam uzrakstīt šādi:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, kas ir kompleksa numura parastās formas izsaukums.
Tādējādi kompleksais skaitlis (3, 4) normālā formā kļūst par 3 + 4i.
2. piemērs. Uzrakstiet šādus kompleksus skaitļus normālā formā.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Tagad pamaniet, ka mēs saucam i par komplekso numuru (0, 1). Apskatīsim, kas notiek, veidojot i2.
Mēs zinām, ka i = (0, 1) un ka es2 = i * i. Izpildiet to:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Izmantojot 3. definīciju, mums būs:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Kā mēs redzējām iepriekš, katrs formas kompleksais skaitlis (x, 0) = x. Tādējādi
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Mēs nonācām pie slavenās vienlīdzības i2 = – 1.
Autors: Marselo Rigonatto
Statistikas un matemātiskās modelēšanas speciāliste
Brazīlijas skolu komanda
Sarežģīti skaitļi - Matemātika - Brazīlijas skola
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm