Algebra tā ir matemātikas nozare, kas vispārina aritmētiku. Tas nozīmē, ka jēdzieni un darbības aritmētikā (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana utt.) un to efektivitāte tiks pierādīta visiem skaitļiem, kas pieder noteiktiem kopumiem ciparu.
Vai, piemēram, darbība “pievienošana” patiešām darbojas ar visiem skaitļiem, kas pieder dabisko skaitļu kopai? Vai arī ir kāds ļoti liels dabiskais skaitlis, kas ir tuvu bezgalībai, kurš, pievienojot, rīkojas atšķirīgi no citiem? Atbildi uz šo jautājumu sniedz algebra: Pirmkārt, tiek definēts dabisko skaitļu kopums un darbība tiek pievienota; tad ir pierādīts, ka saskaitīšanas darbība darbojas jebkuram dabiskajam skaitlim.
ASV algebras pētījumi, ciparus apzīmē ar burtiem. Šie burti var apzīmēt nezināmus skaitļus vai jebkuru citu ciparu kopu. Piemēram, ja x ir pāra skaitlis, tad x var būt 2, 4, 6, 8, 10,... Tādā veidā x ir jebkurš skaitlis, kas pieder pāra skaitļu kopai, un ir skaidrs, kāds ir skaitlis x: 2 reizinājums.
Matemātisko operāciju īpašības
Zinot, ka jebkuru skaitli, kas pieder kopai, var attēlot ar burtu, uzskatiet ciparus x, y un z par piederīgiem skaitļu kopai. īsts un operācijas papildinājums un pavairošana apzīmē attiecīgi “+” un “·”. Tātad x, y un z ir derīgas šādas īpašības:
1 - Asociativitāte
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - komutativitāte
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - neitrāla elementa esamība (1 reizināšanai un 0 pievienošanai)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Esībapretēja (vai simetriska) elementa.
x + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - izplatīšana (saukts arī par sadales īpašību pavairot pār saskaitīšanu)
x · (y + z) = x · y + x · z
Šie piecas īpašības ir derīgi visiem reālajiem skaitļiem x, y un z, jo šie burti tika izmantoti jebkura reālā skaitļa apzīmēšanai. Tie ir derīgi arī saskaitīšanas un reizināšanas operācijām.
algebriskas izteiksmes
Matemātikā izteiksme ir matemātisko darbību secība, kas veikta ar dažiem skaitļiem. Piemēram: 2 + 3 - 7 ir ciparu izteiksme. Ja šī izteiksme ietver nezināmus skaitļus (nezināmus), to sauc algebriskā izteiksme. Algebrisko izteiksmi, kurai ir tikai viens termins, sauc par monomiju. Jebkurš algebriskā izteiksme tas ir saskaitīšanas vai atņemšanas rezultāts starp diviem monomāliem tiek saukts par polinomu.
algebriskas izteiksmes, monomāli un polinomi ir algebrai piederošo elementu piemēri, jo tos veido operācijas, kas veiktas ar nezināmiem skaitļiem. Atcerieties, ka nezināms skaitlis var attēlot jebkuru skaitļu kopas skaitli.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Vienādojumi
Vienādojumi viņi ir algebriskas izteiksmes kuriem ir vienlīdzība. Tādējādi vienādojums tas ir matemātikas saturs, kas caur vienlīdzību saista skaitļus ar nezināmiem.
Nezināmā klātbūtne klasificē vienādojums kā algebrisko izteiksmi. Vienlīdzības klātbūtne ļauj atrast vienādojuma risinājumu, tas ir, nezināmā skaitlisko vērtību.
Piemēri
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Lomas
Oficiālā funkcijas definīcija ir šāda: nodarbošanās tas ir noteikums, kas katru kopas elementu saista ar atsevišķu otrās kopas elementu.
Šo likumu matemātiski attēlo algebriskā izteiksme, kurai ir vienlīdzība, bet kas nezināmo saista ar nezināmo. Šī ir atšķirība starp funkciju un vienādojumu: vienādojums attiecas uz nezināmo uz fiksētu skaitli; plkst nodarbošanās, nezināmais apzīmē veselu skaitlisko kopu. Šī iemesla dēļ nezināmos funkcijas ietvaros sauc par mainīgajiem, jo tie var ņemt jebkuru vērtību to pārstāvētajā kopā.
Tā kā tas ir saistīts ar algebriskām izteiksmēm, nodarbošanās tas ir arī saturs, kas pieder algebrai, jo burti apzīmē jebkuru skaitli, kas pieder jebkurai skaitļu kopai.
Piemēri:
1) Apsveriet funkciju y = x2, kur x ir jebkurš reālais skaitlis.
Šajā nodarbošanās, mainīgais x reālo skaitļu kopā var iegūt jebkuru vērtību. Tā kā likums, kas savieno skaitļus, ko apzīmē x, ar skaitļiem, kurus apzīmē y, ir matemātikas pamatoperācija, tāpēc y apzīmē arī reālos skaitļus. Vienīgā informācija par to ir tā, ka y šajā funkcijā nevar attēlot negatīvu reālo skaitli, jo y ir 2 eksponenta jaudas rezultāts, kam vienmēr būs pozitīvs rezultāts.
2) Apsveriet funkciju y = 2x, kur x ir a dabiskais skaitlis.
Šajā nodarbošanās, mainīgais x dabisko skaitļu kopā var iegūt jebkuru vērtību. Šie skaitļi ir pozitīvi veseli skaitļi, tāpēc vērtības, kuras var iegūt y, ir dabiski skaitļi, kas reizināti ar 2. Tādā veidā y ir pāra skaitļu kopas pārstāvis.
No klasiskās algebras līdz abstraktai algebrai
Līdz šim uzskaitītie jēdzieni veido klasiskā algebra. Šī algebras daļa ir vairāk saistīta ar dabisko, veselu skaitļu, racionālo, iracionālo, reālo un sarežģīto skaitļu kopām un tiek pētīta gan pamatskolā, gan augstākajā izglītībā. Otra algebras daļa, kas pazīstama kā abstrakta, pēta šīs pašas struktūras, bet jebkurām kopām.
Tādējādi, ņemot vērā jebkuru kopu, ar jebkādiem elementiem (skaitļiem vai nē), ir iespējams definēt operāciju "papildinājums", operāciju "reizināt" un pārbaudīt šo darbību īpašību esamību vai neesamību, kā arī "vienādojumu", "funkciju", "polinomu" derīgumu utt.
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
