aritmētiskā progresija (AP) ir skaitliskā secība ko mēs izmantojam, lai aprakstītu noteiktu parādību uzvedību matemātikā. PA, izaugsme vai sabrukšana vienmēr ir nemainīga, tas ir, no viena termina uz otru atšķirība vienmēr būs vienāda, un šī atšķirība ir pazīstama kā iemesls.
Kā rezultātā paredzama progresēšanas uzvedība, to varat aprakstīt pēc formulas, kas pazīstama kā vispārējs termins. Šī paša iemesla dēļ ir iespējams arī aprēķināt PA nosacījumu summu, izmantojot īpašu formulu.
Lasiet arī: Ģeometriskā progresija - kā aprēķināt?
Kas ir PA?
Saprotot, ka PA ir terminu secība, kurā atšķirība starp terminu un tā iepriekšējo vienmēr ir nemainīga, lai aprakstītu šo progresu pēc formulas, mums jāatrod sākotnējais termins vai tas ir, pirmais progresijas termiņš un tā iemesls, kas ir šī pastāvīgā atšķirība starp noteikumiem.
Vispārīgi runājot, PA ir rakstīts šādi:
(The1, a2, The3, a4, The5, a6, The7, a8)
Pirmais termins ir a1 un no tā līdz pievienot iemesls r, atradīsim pēcteča noteikumus.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Tātad, lai uzrakstītu aritmētisko progresiju, mums jāzina, kurš ir tā pirmais termins un kāpēc.
Piemērs:
Uzrakstīsim pirmos sešus AP terminus, zinot, ka tā pirmais termins ir 4 un attiecība ir vienāda ar 2. zinot1 = 4 un r = 2, mēs secinām, ka šī progresija sākas ar 4 un palielinās no 2 līdz 2. Tāpēc mēs varam aprakstīt tā noteikumus.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Šis BP ir vienāds ar (4,6,8,10,12,14…).
PA vispārējais termiņš
Aprakstot PA pēc formulas, mums ir viegli atrast kādu no tās noteikumiem. Lai atrastu jebkuru AP terminu, mēs izmantojam šādu formulu:
TheNē= a1 + r · (n-1) |
N → ir termina pozīcija;
The1→ ir pirmais termins;
r → iemesls.
Piemērs:
Atrodi to vispārējais PA termiņš (1,5,9,13,…) un 5., 10. un 23. sasaukums.
1. solis: atrast iemeslu.
Lai atrastu attiecību, vienkārši aprēķiniet starpību starp diviem secīgiem vārdiem: 5 - 1 = 4; tad šajā gadījumā r = 4.
2. solis: atrodiet vispārīgo terminu.
Kā mēs zinām, ka1= 1 un r = 4, aizstāsim formulu.
TheNē= a1 + r (n - 1)
TheNē= 1 + 4 (n - 1)
TheNē= 1 + 4n - 4
TheNē= 4n - 3 → PA vispārīgais termins
3. solis: zinot vispārīgo terminu, aprēķināsim 5., 10. un 23. terminu.
5. termiņš → n = 5
TheNē= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10. termiņš → n = 10
TheNē= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23. termins → n = 23
TheNē= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Aritmētisko progresiju veidi
PA ir trīs iespējas. Tas var palielināties, samazināties vai būt nemainīgs.
Pieaug
Kā norāda nosaukums, aritmētiskā progresija palielinās, kad pieaugot termiņiem, pieaug arī to vērtība., tas ir, otrais termins ir lielāks par pirmo, trešais ir lielāks par otro utt.
The1
Lai tas notiktu, attiecībai jābūt pozitīvai, tas ir, PA palielinās, ja r> 0.
Piemēri:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
dilstoši
Kā norāda nosaukums, aritmētiskā progresija samazinās, kad pieaugot termiņiem, to vērtība samazinās, tas ir, otrais termins ir mazāks par pirmo, trešais ir mazāks par otro utt.
The1 >2 >3 >4 > …. >Nē
Lai tas notiktu, attiecībai jābūt negatīvai, tas ir, PA palielinās, ja r <0.
Piemēri:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Pastāvīgs
Aritmētiskā progresija ir nemainīga, ja pieaugot termiņiem, vērtība paliek nemainīga., tas ir, pirmais termins ir vienāds ar otro, kas ir vienāds ar trešo utt.
The1 =2 =3 =4 = …. = aNē
Lai PA būtu nemainīgs, attiecībai jābūt vienādai ar nulli, tas ir, r = 0.
Piemēri:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Skatīt arī: PG noteikumu produkts - kāda ir formula?
PA īpašības
1. īpašums
Ņemot vērā jebkuru PA termiņu, vidēji aritmētika starp tā pēcteci un priekšteci ir vienāds ar šo terminu.
Piemērs:
Apsveriet progresēšanu (-1, 2, 5, 8, 11) un terminu 8. Vidējais rādītājs starp 11 un 5 ir vienāds ar 8, tas ir, pēctecis ar skaitļa priekšgājēju PA vienmēr ir vienāds ar šo skaitli.
2. īpašums
Vienādo attālumu summa vienmēr ir vienāda.
Piemērs:
PA termiņu summa
Pieņemsim, ka mēs vēlamies pievienot sešus iepriekš parādītos BP terminus: (16,13,10,7,4,1). Mēs varam vienkārši pievienot viņu noteikumus - tādā gadījumā ir maz terminu, tas ir iespējams -, bet ja tā ir garāka virkne, jums vajadzētu izmantot īpašumu. Mēs zinām, ka vienādu attālumu summa vienmēr ir vienāda, kā redzējām īpašumā, tāpēc, ja mēs to izpildām pievienojiet vienu reizi un reiziniet ar pusi no terminu summas, mums ir pirmo sešu terminu summa PAN.
Ņemiet vērā, ka šajā piemērā mēs aprēķinātu pirmā un pēdējā summu, kas ir vienāda ar 17, reizinot ar pusi no terminu summas, tas ir, 17 reizes 3, kas ir vienāda ar 51.
Formula PA termiņu summa to izstrādāja matemātiķis Gauss, kurš šo simetriju realizēja aritmētiskajās progresijās. Formula ir rakstīta šādi:
sNē → n elementu summa
The1 → pirmais termiņš
TheNē → pēdējais termiņš
n → terminu skaits
Piemērs:
Aprēķiniet nepāra skaitļu summu no 1 līdz 2000.
Izšķirtspēja:
Mēs zinām, ka šī secība ir PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Summas veikšana būtu daudz darba, tāpēc formula ir diezgan ērta. No 1. līdz 2000. gadam puse skaitļu ir nepāra, tātad ir 1000 nepāra skaitļu.
Dati:
n → 1000
The1 → 1
TheNē → 1999
Piekļūstiet arī: Galīgā PG summa - kā to izdarīt?
Aritmētisko vidējo interpolācija
Zinot divus secīgus aritmētiskās progresijas nosacījumus, ir iespējams atrast visus terminus, kas ietilpst starp šiem diviem skaitļiem, ko mēs zinām kā aritmētisko vidējo interpolācija.
Piemērs:
Interpolēsim 5 aritmētiskos vidējos rādītājus starp 13 un 55. Tas nozīmē, ka ir 5 skaitļi no 13 līdz 55, un tie veido progresiju.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Lai atrastu šos skaitļus, ir jāatrod iemesls. Mēs zinām pirmo terminu (1 = 13) un arī 7. sasaukums (7= 55), bet mēs zinām, ka:
TheNē =1 + r · (n - 1)
Kad n = 7 → aNē= 55. Mēs zinām arī a vērtību1=13. Tātad, aizstājot to ar formulu, mums:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Zinot iemeslu, mēs varam atrast terminus, kas ir no 13 līdz 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
atrisināti vingrinājumi
Jautājums 1 - (Enem 2012) - kāršu spēle ir darbība, kas stimulē spriešanu. Tradicionāla spēle ir Solitaire, kurā tiek izmantotas 52 kārtis. Sākumā ar kartēm tiek veidotas septiņas kolonnas. Pirmajā kolonnā ir viena karte, otrajā ir divas kartes, trešajā ir trīs kartes, ceturtajā ir četras kartes utt secīgi uz septīto kolonnu, kurā ir septiņas kārtis, un kas veido kaudzi, kuras ir neizmantotās kartes kolonnas.
Kaudzi veidojošo karšu skaits ir šāds:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Izšķirtspēja
B alternatīva
Vispirms aprēķināsim kopējo izmantoto karšu skaitu. Mēs strādājam ar AP, kura pirmais termiņš ir 1, un attiecība ir arī 1. Tātad, aprēķinot 7 rindu summu, pēdējais termins ir 7, un n vērtība ir arī 7.
Zinot, ka kopējais izmantoto karšu skaits bija 28 un ka ir 52 kartes, kaudzi veido:
52 - 28 = 24 kārtis
2. jautājums - (Enem 2018) Mazpilsētas rātsnams interjerā nolemj ap stabu novietot apgaismojumu pa taisnu ceļu, kas sākas pie centrālā laukuma un beidzas zemnieku saimniecībā. lauku. Tā kā laukumā jau ir apgaismojums, pirmais stabs tiks novietots 80 metru attālumā no laukuma, otrais - 100 metru attālumā, trešais - 120 metru attālumā utt. vienmēr turot 20 metru attālumu starp stabiem, līdz pēdējais stabs ir novietots 1380 metru attālumā no kvadrāts.
Ja pilsēta var maksāt ne vairāk kā 8 000,00 R $ par ievietoto pastu, lielākā summa, ko varat iztērēt šo amatu izvietošanai, ir:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) R $ 528 000,00.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Izšķirtspēja
C alternatīva
Mēs zinām, ka stabi tiks izvietoti ik pēc 20 metriem, tas ir, r = 20, un ka šīs PA pirmais termiņš ir 80. Mēs arī zinām, ka pēdējais termins ir 1380, bet mēs nezinām, cik daudz terminu ir no 80 līdz 1380. Lai aprēķinātu šo terminu skaitu, izmantosim vispārīgo terminu formulu.
Dati: aNē = 1380; The1=80; un r = 20.
TheNē= a1 + r · (n-1)
Tiks izvietoti 660 amati. Ja katra no tām maksās ne vairāk kā 8 000 R $, lielākā summa, ko var iztērēt, izvietojot šīs ziņas, ir:
66· 8 000 = 528 000
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
