O taškinis sandauga tarp dviejų vektorių yra realus skaičius, susiejantis šių vektorių dydį, ty jų ilgį ir kampą tarp jų. Todėl, norint jį apskaičiuoti, reikia žinoti jų ilgius ir formuojamą kampą.
Naudojant plokštumą kaip pagrindą, vektorius nurodo vietą, intensyvumą, kryptį ir kryptį. Todėl jis naudojamas tiriant mechaniką (fiziką) kaip objektui veikiančios jėgos atstovas.
Įprastas vektoriaus vaizdavimas yra rodyklė, kuri baigiasi tašku. Sakoma, kad šio taško koordinatės yra vektoriaus koordinatės, pradedant tašku O (0,0). Mes jam parašyti rašome v = (a, b). Taigi vektorius v = (1,2) brėžiamas taip:
Vektorinis pavyzdys pradedant nuo kilmės
Norėdami apskaičiuoti šio vektoriaus ilgį, atsižvelkite į jo suformuotą stačiakampį trikampį ir jo projekciją į x ašį (arba y ašį), kaip parodyta šiame paveiksle:
Vektoriaus ilgis v
Vadinamas vektoriaus v ilgis v vektoriaus norma arba vektorinis modulis v ir atstovaujama | v |. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus v = (a, b) norma yra būtent aukščiau esančiame paveiksle pavaizduoto trikampio hipotenuzos matas. Norėdami apskaičiuoti šią priemonę, mes naudojame Pitagoro teoremą:
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Dviejų vektorinių taškų sandauga
Atsižvelgiant į du vektorius u ir v, vidinį sandaugą tarp jų vaizduoja ir apibrėžiamas kaip:
= | u || v | · cosθ
Tai yra tam tikras dviejų vektorių dauginimasis, tačiau jis nėra vadinamas sandauga, nes tai nėra įprastas dauginimas, nes jis apima šių dviejų vektorių suformuotą kampą.
Kampas tarp dviejų vektorių
Pirmasis rezultatas, atsirandantis dėl pirmiau pateikto apibrėžimo, yra kampas tarp dviejų vektorių. Su realiaisiais skaičiais „taško sandauga“, „u vektoriaus norma“ ir „v vektoriaus norma“ galima apskaičiuoti kampą tarp vektorių u ir v. Norėdami tai padaryti, tiesiog atlikite skaičiavimus:
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Todėl, padaliję vidinį sandaugą iš vektorių u ir v normų, randame tikrąjį skaičių, nurodantį kosinusą tarp šių dviejų vektorių, taigi ir kampą tarp jų.
Atkreipkite dėmesį, kad jei kampas tarp dviejų vektorių yra tiesus, cosθ yra lygus nuliui. Todėl aukščiau pateiktas produktas turės tokį rezultatą:
= 0
Iš to galima daryti išvadą, kad, atsižvelgiant į du vektorius u ir v, jie bus stačiakampiai, jei = 0.
Vidinis produktas apskaičiuojamas pagal vektorines koordinates
Atsižvelgiant į du vektorius u = (a, b) ir v = (c, d), taškinį sandaugą tarp u ir v pateikia:
= = a · c + b · d
Vidinės produkto savybės
Atsižvelgdami į vektorius u, v ir w bei realųjį skaičių α, atkreipkite dėmesį:
i) =
Tai reiškia, kad vidinis vektorių sandauga yra „komutacinė“.
ii) = +
Ši savybė yra palyginama su daugybos paskirstymo pasiskirstymu per sudėjimą.
iii) = = α
Apskaičiuojant vidinį sandaugą tarp u ir v padauginus iš tikro skaičiaus α, tas pats, kas vidinio sandaugos tarp αv ir u arba tarp v ir αu apskaičiavimas.
iv)
Vidinis v ir v sandauga yra tik nulis, jei v yra nulinis vektorius.
v)
Vidinis v ir v sandaugas visada bus didesnis arba lygus nuliui.
Autorius Luizas Paulo Moreira
Baigė matematiką
