Visi esami skaičiai buvo sukurti pagal žmogaus poreikius kūrimo metu, kaip yra natūralių skaičių atveju, kurie buvo sukurti suskaičiuoti ir kontroliuoti „atsargas“ ir iracionalius skaičius, kurie buvo nustatyti siekiant išspręsti su šaknis. Būtent problemos, susijusios su šaknimis, leido žinoti apie kompleksiniai skaičiai.
Kvadratinė lygtis x2 + 4x + 5 = 0 neturi tikrųjų šaknų. Tai reiškia, kad realių skaičių aibėje neįmanoma rasti x reikšmių, lygių pirmajam šios lygties terminui su antruoju. Mes stebime šį reiškinį nuo Bhaskaros formulės pradžios:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Suradus neigiamą Δ reikšmę, tampa neįmanoma tęsti Bhaskaros formulės, nes reikia apskaičiuoti √Δ (delta šaknis). Dabar mes žinome, kad √– 4 negalima apskaičiuoti, nes nėra realaus skaičiaus, kuris, padaugintas iš jo, gautų - 4.
Šiems poreikiams patenkinti buvo sukurti sudėtingi skaičiai. Nuo jo sukūrimo √– 4 galima sukurti taip:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) suprantamas kaip naujo tipo numeris. Visų šių skaičių aibė yra žinoma kaip kompleksinių skaičių aibė, ir kiekvienas šios naujos aibės atstovas apibrėžiamas taip: Tegul A yra sudėtinis skaičius, tada
A = + Bi, kur ir B yra tikrieji skaičiai ir i = √ (- 1)
Šiame apibrėžime Jis žinomas kaip tikroji A dalis ir B Jis žinomas kaip įsivaizduojama A. dalis.
Kompleksinių skaičių savybės
Tikrieji skaičiai atspindi visą ir geometrinę liniją. Savo ruožtu kompleksiniai skaičiai reiškia visą plokštumą. Dekarto plokštuma, naudojama vaizduoti kompleksinius skaičius, vadinama Argando-Gauso plokštuma.
Kiekvienas kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas Argando-Gauso plokštumoje kaip koordinačių taškas (a, b). Atstumas nuo kompleksinį skaičių žyminčio taško iki taško (0,0) vadinamas komplekso skaičiaus moduliu., kuris apibrėžiamas:
Tegul A = a + bi yra kompleksinis skaičius, jo modulis yra | A | = a2 + b2
Kompleksiniai skaičiai taip pat turi atvirkštinį elementą, vadinamą konjugatu. Jis apibrėžiamas kaip:
Tegul A = a + bi yra kompleksinis skaičius,
Ā = a - bi yra šio skaičiaus konjugatas.
1 savybė: Kompleksinio skaičiaus ir jo konjugato sandauga lygi realiosios dalies ir įsivaizduojamosios komplekso skaičiaus kvadratų sumai. Matematiškai:
AĀ = a2 + b2
Pavyzdys: koks yra jo konjugato A = 2 + 5i produktas?
Tiesiog atlikite skaičiavimą: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Jei nuspręstume parašyti A konjugatą ir po to atliktume A dauginimą, turėtume:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Tai yra, naudojant siūlomą savybę, galima išvengti ilgo skaičiavimo ir klaidų atliekant šiuos skaičiavimus.
2 savybė: Jei kompleksinis skaičius A yra lygus jo konjugatui, tai A yra tikrasis skaičius.
Tegul A = a + bi. Jei A = Ā, tada:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Todėl b = 0
Todėl privaloma, kad kiekvienas kompleksinis skaičius, lygus jo konjugatui, būtų ir realusis skaičius.
3 savybė: Dviejų kompleksinių skaičių sumos konjugatas yra lygus šių skaičių konjugatų sumai., tai yra:
_____ _ _
A + B = A + B
Pavyzdys: koks yra 7 + 9i ir 2 + 4i sumos konjugatas?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Pirmiausia galite pridėti ir paskaičiuoti rezultato konjugatą arba pirmiausia atlikti konjugatus, o vėliau pridėti rezultatus.
4 savybė: Produkto konjugatas tarp dviejų kompleksinių skaičių yra lygus jų konjugatų sandaugai, t.y:
__ _ _
AB = A · B
Pavyzdys: koks yra konjugatų A = 7i + 10 ir B = 4 + 3i produktas?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Atsižvelgiant į pratimo poreikį, prieš atliekant dauginimą galima pirmiausia padauginti ir paskaičiuoti konjugatą arba parodyti konjugatus.
5 savybė: Kompleksinio skaičiaus A ir jo konjugato sandauga lygi A modulio kvadratui, t.y:
AĀ = | A |2
Pavyzdys: A = 2 + 6i, tada AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Atkreipkite dėmesį, kad nebūtina rasti konjugato ir atlikti padauginimą per paskirstymo dauginimo savybę per dauginimą (žinomą kaip maža dušo galvutė).
6 savybė: Kompleksinio skaičiaus modulis yra lygus jo konjugato moduliui. Kitaip tariant:
| A | = | Ā |
Pavyzdys: raskite kompleksinio skaičiaus A = 3 + 4i konjugato modulį.
Atkreipkite dėmesį, kad nebūtina rasti konjugato, nes moduliai yra vienodi.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Jei būtų apskaičiuota | Ā |, vienintelis pokytis būtų a B neigiamas kvadratas, kuris turi teigiamą rezultatą. Taigi rezultatas vis tiek būtų 25 šaknis.
7 savybė: Jei A ir B yra sudėtiniai skaičiai, tada A ir B modulio sandauga lygi A ir B sandaugos moduliui., t.y:
| AB | = | A || B |
Pavyzdys: tegul A = 6 + 8i ir B = 4 + 3i, kiek yra | AB |?
Atkreipkite dėmesį, kad prieš skaičiuojant modulį nebūtina dauginti sudėtingų skaičių. Galima atskirai apskaičiuoti kiekvieno kompleksinio skaičiaus modulį ir tada tiesiog padauginti rezultatus.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Autorius Luizas Paulo Moreira
Baigė matematiką
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm