Polyhedra: kokie jie yra, elementai, savybės

Poliahedra (iš lotynų kalbos poli - daug - ir hedronas - veidas) yra skaičiaitrimatis suformuota taisyklingų daugiakampių sąjungos, kurioje daugiakampiai kampai sutampa. Šių daugiakampių sąjunga sudaro daugiakampį sudarančius elementus: viršūnės, kraštai ir veidus. Tačiau ne kiekviena trimatė figūra yra daugiakampis, to pavyzdys yra figūros, kurių išlenkti veidai vadinami apvalūs kūnai.

Yra matematinė formulė, susiejanti daugiakampio, vadinamo, elementus Eulerio santykiai. Be to, daugiakampės skirstomos į dvi grupes: vadinamąją daugiakampę išgaubtas ir ne išgaubta. Kai kurios polihedros nusipelno ypatingo dėmesio, jos yra vadinamos Platono daugiakampis: tetraedras, šešiakampis, oktaedras, dodekaedras ir ikosaedras.

Taip pat skaitykite: Skirtumai tarp plokščių ir erdvinių figūrų

išgaubta daugiakampė

Daugiakampis bus išgaubtas, kai jį suformuos daugiakampiai išgaubtas, kad būtų laikomasi šių sąlygų:

1. du iš daugiakampių Niekada jie yra koplanariniai, tai yra, nepriklauso tai pačiai plokštumai.
2. Kiekviena iš šių daugiakampių pusių priklauso tik dviem daugiakampiams.
3. Plokštuma, kurioje yra bet kuris iš šių daugiakampių, palieka kitus daugiakampius toje pačioje erdvėje.

Taip pat skaitykite:Išgaubto daugiakampio vidinių ir išorinių kampų suma

Išgaubto daugiakampio elementai

Apsvarstykite šį išgaubtą daugiakampį:

Tu keturkampiai paveiksle yra vadinami veidus daugiakampio.

Tu penkiakampiai yra daugiakampio, kuris yra pavadintas, veidai ir pagrindas penkiakampio pagrindo daugiakampis.

Vadinami segmentai, kurie sudaro kiekvieną veidą kraštai daugiakampio.

Vadinami taškai, kur kraštai susitinka viršūnės.

Bus vadinamas linijos segmentas JC įstrižai daugiakampis, žymimas:

JC yra viena iš įstrižainių, mes suprantame įstrižai daugiakampis kaip esantis tiesės segmentas, jungiantis dvi viršūnes, nepriklausančias tam pačiam veidui.

Mes taip pat turime daugiakampį kampą, suformuotą tarp kraštų, žymimą:

Daugiakampis kampas vadinamas a trišakis Kada trys kraštai kilę iš viršūnės. Taip pat jis vadinamas tetraedras, atveju keturi kraštai kilę iš viršūnės ir pan.

Nuo šiol nustatysime keletą žymėjimų, kurie yra:

Žinoti daugiau: Geometrinių kietųjų medžiagų planavimas

Išgaubto daugiakampio savybės

• 1 savybė

Visų veidų kraštų suma lygi dvigubam daugiakampio kraštų skaičiui.

Pavyzdys

Daugiakampis turi 6 kvadratinius veidus. Nustatykime kraštų skaičių.

Pagal savybę, tiesiog padauginkite veido kraštų skaičių iš veidų skaičiaus, ir tai yra lygi dvigubam kraštų skaičiui. Taigi:

• 2 savybė

Visų veidų viršūnių suma lygi visų veidų kraštų sumai, kuri lygi dvigubam kraštų skaičiui.

Pavyzdys

Daugiakampis su 5 tetraedriniais kampais ir 4 šešiakampiais kampais. Nustatykime kraštų skaičių.

Analogiškai ankstesniam pavyzdžiui, antroji savybė sako, kad visų veidų kraštų suma lygi dvigubam kraštų skaičiui. Briaunų skaičių nurodo sandauga 5 iš 4 ir 4 iš 6, nes jie yra 5 tetraedriniai ir 4 šešiakampiai. Taigi:

Įgaubta (neišgaubta) daugiakampė

Daugiakampis yra neišgaubtas arba įgaubtas, kai paimame du taškus skirtinguose veiduose ir tiesiame r kuriame yra šie taškai, ne visi yra daugiakampyje.

Atkreipkite dėmesį, kad tiesia linija (mėlyna spalva) daugiakampyje nėra baigta, todėl daugiakampis (rausvos spalvos) yra įgaubtas arba neišgaubtas.

taisyklinga daugiakampė

Mes sakome, kad daugiakampis yra reguliarus, kai tavo veidai yra taisyklingi daugiakampiai lygūs vienas kitam ir daugiakampiai kampai vienodi.

Žr. Keletą pavyzdžių:

Atkreipkite dėmesį, kad visi jūsų veidai yra įprasti daugiakampiai. Jo veidai yra suformuoti kvadratais, o kraštai yra sutampantys, ty jie turi tą patį matą.

skaitytitaip pat: Kas yra taisyklingi ir išgaubti daugiakampiai?

Eulerio santykiai

Taip pat žinomas kaip Eulerio teorema, rezultatą įrodė Leonhardas Euleris (1707 - 1783) ir garantuoja, kad m visas uždaras išgaubtas daugiakampis galioja šie santykiai:

Platono polihedra

Bet kuris daugiakampis, tenkinantis šias sąlygas, vadinamas Platono daugiakampiu:

1. Eulerio ryšys galioja

2. Visų veidų kraštai yra vienodi

3. Visi daugiakampiai kampai turi tą patį kraštų skaičių

Įrodyta, kad yra tik penkios taisyklingos ir išgaubtos daugiakampės arba Platono daugiakampės:

• taisyklingas tetraedras

tetraedras turi 4 trikampiai veidai sutampa ir 4 trišakiai kampai sutampa.

• taisyklingas šešiakampis

šešiakampis turi 6 kvadratiniai veidai sutampa ir 8 trišakiai kampai sutampa.

• taisyklingas oktaedras

oktaedras turi 8 trikampiai veidai sutampa ir 6 tetraedriniai kampai sutampa.

• taisyklingas dodekaedras

dodekaedras turi 12 penkiakampių veidų sutampa ir 20 kampųtrišakis sutampa.

• taisyklingas ikosaedras

Ikosaedras turi 20 trikampių veidų sutampa ir 12 penkiakampių kampų sutampa.

sprendė pratimus

1) (priešas) Papuošalas buvo iškirptas išgaubto 32 veido daugiakampio formos, iš kurių 20 yra šešiakampės, o likusios - penkiakampės. Šis brangakmenis bus dovana poniai, švenčiančiai savo gimtadienį, sukakus amžiui, kurio skaičius yra šio daugiakampio viršūnių skaičius. Ši ponia baigia:

a) 90 metų

b) 72 metai

c) 60 metų

d) 56 metai

e) 52 metai

Sprendimas:

Duoda 1 turtas išgaubtų daugiakampių, mes žinome, kad:

Dabar kaip mes žinome kraštų skaičių tai veidų skaičius, galime naudoti Eulerio santykį.

Kadangi jūsų amžius yra lygus viršūnių skaičiui, tai yra 60 metų. C alternatyva.

2) (PUC-SP) Kiek briaunų išgaubtas daugiakampis su trikampiais veidais, kai viršūnių skaičius yra trys penktadaliai veidų skaičiaus?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

Sprendimas:

Iš išgaubto daugiakampio savybių ir pratimo teiginio turime:

Šias reikšmes pakeisdami santykiu „Euler“ turime:

Organizuojant ankstesnę lygtį ir sprendžiant F lygtį, daroma išvada, kad:

Pakeisdami briaunų lygtyje rastų veidų skaičiaus vertę, turėsime:

B alternatyva

pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja