algebrinė išraiškos faktorizacija susideda iš algebrinės išraiškos rašymo produkto forma. Praktiniais atvejais, tai yra sprendžiant kai kurias su tuo susijusias problemas algebrinės išraiškos, faktoriavimas yra nepaprastai naudingas, nes daugeliu atvejų jis supaprastina dirbamą išraišką.
Norėdami atlikti algebrinių išraiškų faktorizavimą, naudosime labai svarbų matematikos rezultatą, vadinamą pagrindinė aritmetikos teorema, kuriame teigiama, kad bet kuris sveikas skaičius, didesnis nei 1, gali būti parašytas kaip sandauga pirminiai skaičiai, Žiūrėk:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Mes tiesiog apskaičiavome skaičius 121 ir 60.
Skaityk ir tu: Skaičio skaidymas į pagrindinius veiksnius
Algebrinių išraiškų faktoringo metodai
Dabar pamatysime pagrindinius faktorizavimo metodus, dažniausiai naudojamus, atliksime trumpą geometrinį pagrindimą. Pažvelk:
Įrodymų faktoringas
Apsvarstykite stačiakampį:
Atkreipkite dėmesį, kad stačiakampis mėlyna plius žalio stačiakampio plotas lemia didesnį stačiakampį. Pažvelkime į kiekvieną iš šių sričių:
MĖLYNA = b · x
ŽALIAS = b · y
DIDESNIS = b · (x + y)
Taigi, mes turime:
DIDESNIS = AMĖLYNA + AŽALIAS
b (x + y) = bx + pagal
Pavyzdžiai
) Išraiškai įvertinti: 12x + 24m.
Atkreipkite dėmesį, kad įrodymų faktorius yra 12, nes jis rodomas abiejuose siuntiniuose, todėl norint nustatyti skaičius, esančius skliaustuose, pakanka Dalintis kiekvienas siuntinys pagal įrodymų faktorių.
12x: 12 = x
24 m.: 12 = 2m
12x + 24y = 12 · (x + 2m)
B) Norėdami atsižvelgti į išraišką 21ab2 - 70-oji2B.
Lygiai taip pat iš pradžių nustatomas įrodymų faktorius, tai yra faktorius, kuris pasikartoja siuntiniuose. Pažiūrėkite, kad iš skaitinės dalies turime 7 kaip bendras veiksnys, nes būtent tas, kuris padalija abu skaičius. Kalbant apie pažodinę dalį, pažiūrėkite, ar kartojamas tik faktorius abtodėl įrodymų faktorius yra: 7ab.
21ab2 - 70-oji2b = 7ab (3b - 10)
Skaityk ir tu: Daugianario padalijimas: kaip tai padaryti?
Faktoringas grupuojant
Faktorizacija pagal grupes yra atsirandančių dėl faktoringo įrodymais, vienintelis skirtumas yra tas, kad užuot naudoję monomį kaip bendrą veiksnį ar įrodantį veiksnį, turėsime daugianaris, žr. pavyzdį:
Apsvarstykite išraišką (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Atkreipkite dėmesį, kad bendras veiksnys yra binomas (a + b),todėl ankstesnės išraiškos faktūrinė forma yra:
(a + b) · (Xy + wz2)
skirtumas tarp dviejų kvadratų
Apsvarstykite du skaičius a ir b, kai turime a skirtumas šių skaičių kvadrato, tai yra2 - B2, todėl galime juos parašyti kaip skirtumo sumos sandauga, t.y:
2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Pavyzdžiai
) Kad faktorius išraiškos x2 - y2.
Mes galime naudoti dviejų kvadratų skirtumą, taigi:
x2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) Į faktorių 2020 m2 – 2.0192.
Mes galime naudoti dviejų kvadratų skirtumą, taigi:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Tobulo kvadrato trinomas
Paimkite kitą kvadratą iš šono (a + b) ir atkreipkite dėmesį į jo viduje suformuotų kvadratų ir stačiakampių plotus.
Žr aikštė didesnę suteikia (a + b)2, bet, kita vertus, didžiausio kvadrato plotą galima gauti pridedant kvadratus ir stačiakampius jo viduje, taip:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Panašiai turime:
(a - b)2 =2 - 2ab + b2
Pavyzdys
Apsvarstykite išraišką x2 + 12x + 36.
Jei norite atsižvelgti į tokio tipo išraišką, tiesiog nustatykite kintamojo x koeficientą ir nepriklausomą koeficientą ir palyginkite su pateikta formule, žr .:
x2 + 12x + 36
2 + 2ab + b2
Atlikdami palyginimus pamatykite, kad x = a, 2b = 12 ir b2 = 36; iš lygybių turime tą b = 6, taigi faktoriaus išraiška yra:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomialas vidurinėje mokykloje
Apsvarstykite kirvį trinomą2 + bx + c. Jo faktinę formą galima rasti naudojant savo šaknis, tai yra x reikšmės, kurios nulinę tą išraišką. Norėdami nustatyti reikšmes, dėl kurių ši išraiška tampa nulis, tiesiog išspręskite lygties ašį2 + bx + c = 0 naudojant bet kokį metodą, kuris yra patogus. Čia mes pabrėžiame geriausiai žinomą metodą: Bhaskaros metodas.
Faktorinė kirvio trinomo forma2 + bx + c yra:
kirvis2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Pavyzdys
Apsvarstykite išraišką x2 + x - 20.
Pirmiausia reikia nustatyti x lygties šaknis.2 + x - 20 = 0.
Taigi išraiškos x išraiškos forma2 + x - 20 yra:
(x - 4) · (x + 5)
Skirtumo tarp dviejų skaičių kubas
Skirtumo tarp dviejų skaičių a ir b kubą pateikia:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Dviejų skaičių sumos kubas
Panašiai turime tai (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , netrukus:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
sprendė pratimus
Klausimas 1 - (Cefet-MG) Kur skaičius n = 6842 – 6832, n skaitmenų suma yra:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Rezoliucija
Alternatyva d. Norėdami nustatyti n skaitmenų sumą, pirmiausia atsižvelgiame į išraišką, nes kvadratų apskaičiavimas ir atimimas yra nereikalingas darbas. Faktoruodami išraišką naudodami dviejų kvadratų skirtumą, turime:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1 367 · 1
n = 1 367
Todėl n skaitmenų suma pateikiama 1 + 3 + 6 + 7 = 17
2 klausimas - (Modified Insper-SP) Nustatykite išraiškos vertę:
Rezoliucija
Kad žymėjimas būtų lengvesnis, įvardinkime a = 2009 ir b = 2. prisimink, kad 22 = 4, todėl turime:
Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos skaitiklyje turime skirtumą tarp dviejų kvadratų, todėl galime parašyti2 - B2 = (a + b) (a - b). Netrukus:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm