Linijinės sistemos: kokie jie yra, kaip juos išspręsti, tipai

Išspręskite sistemaslinijinis tai labai pasikartojanti užduotis gamtos mokslų ir matematikos studijų studijoms. Ieškant nežinomų reikšmių buvo sukurti linijinių sistemų sprendimo metodai, tokie kaip sistemų, turinčių dvi lygtys ir dvi nežinomosir Crammerio taisyklė bei mastelis, kurie išsprendžia linijines dviejų lygčių sistemas, tačiau yra patogesni sistemoms, turinčioms daugiau lygčių. Linijinė sistema yra dviejų ar daugiau lygčių su viena ar daugiau nežinomųjų rinkinys.

Taip pat skaitykite:Koks ryšys tarp matricų ir tiesinių sistemų?

Linijinės sistemos.

tiesinė lygtis

Darbas su lygtimis egzistuoja dėl reikia rasti nežinomas nežinomas vertes. Mes tai vadiname lygtimi, kai turime algebrinę išraišką su lygybe, ir ji klasifikuojama kaip tiesinė, kai didžiausias nežinomųjų rodiklis yra 1, kaip parodyta kituose pavyzdžiuose:

2x + y = 7 → tiesinė lygtis su dviem nežinomaisiais

a + 4 = -3 → tiesinė lygtis su viena nežinoma

Apskritai, tiesinę lygtį galima apibūdinti taip:

The₁x₁ +₂x₂ + a3x3... + a_nex_ne = c

Mes žinome kaip lygčių sistemą, kai yra daugiau nei viena tiesinė lygtis. Pradėsime nuo linijinių dviejų nežinomų sistemų.

Tiesinių sistemų sprendimas

• Linijinės sistemos su dviem 1 laipsnio lygtimis ir dviem nežinomomis

Norėdami išspręsti dviejų lygčių ir dviejų nežinomų sistemų sistemą, yra kelios metodai, trys geriausiai žinomi yra:

• palyginimo metodas
• papildymo metodas
• pakeitimo metodas

Bet kuris iš trijų gali išspręsti dviejų lygčių ir dviejų nežinomų linijinę sistemą. Šie metodai nėra tokios efektyvios sistemoms, kuriose yra daugiau lygčių, nes yra kitų specifinių būdų jiems išspręsti.

• Pakaitinis metodas

Pakaitinis metodas susideda iš išskirti vieną iš nežinomųjų vienoje iš lygčių ir atlikite pakeitimą kitoje lygtyje.

Pavyzdys:

1 žingsnis: išskirti vieną iš nežinomųjų.

Mes vadiname I pirmąja, o II - antrąja lygtimi. Analizuodami abu, leiskime pasirinkite nežinomybę, kurią lengviausia izoliuoti. Atkreipkite dėmesį, kad lygtis I → x + 2y = 5, x neturi koeficiento, todėl jį lengviau izoliuoti, todėl mes perrašysime man patinkančią lygtį:

I → x + 2y = 5

Aš → x = 5–2 m

2 žingsnis: pakeisti I II.

Dabar, kai turime I lygtį tik su x, II lygtyje galime x pakeisti 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

X pakeitimas 5–2 m .:

3 (5–2 m.) - 5 m. = 4

Dabar, kai lygtyje yra tik vienas nežinomas, ją galima išspręsti, norint rasti y reikšmę.

Žinodami y reikšmę, rasime x reikšmę, pakeisdami y reikšmę I lygtyje.

Aš → x = 5–2 m

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Taigi sistemos sprendimas yra S = {3,1}.

• Palyginimo metodas

Palyginimo metodą sudaro: išskirkite nežinomą iš dviejų lygčių ir išlyginkite šias reikšmes.

Pavyzdys:

1 žingsnis: tegul būsiu pirmoji lygtis, o II - antroji, išskirkime vieną iš nežinomųjų I ir II. Pasirinkę izoliuoti nežinomą x, turime:

2 žingsnis: sulyginkite dvi naujas lygtis, nes x = x.

3 žingsnis: pakeiskite y reikšmę -2 vienoje iš lygčių.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Taigi šios sistemos sprendimas yra aibė S = {2, -2}.

Taip pat žiūrėkite: Kokie yra funkcijos ir lygties skirtumai?

• papildymo metodas

Papildymo metodas yra visų vienos lygties sąlygų dauginimas tokiu būdu, kad, kai prie II lygties pridėkite I lygtį, viena iš jos nežinomųjų lygi nuliui.

Pavyzdys:

1 žingsnis: padauginkite vieną iš lygčių taip, kad koeficientai būtų priešingi.

Atkreipkite dėmesį, kad jei padauginsime II lygtį iš 2, II lygtyje turime 4y ir I lygtyje -4y, o kad pridedame I + II, turime 0y, taigi padauginkime visus II lygties terminus iš 2, kad tai atsitikti.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2 žingsnis: atlikti sumą I + 2 · II.

3 žingsnis: x = 3 reikšmę pakeiskite į vieną iš lygčių.

• Linijinės sistemos su trimis 1 laipsnio lygtimis ir trimis nežinomomis

Kai sistemoje yra trys nežinomieji, mes naudojame kitus sprendimo būdus. Visi šie metodai susieja koeficientus su matricomis, o dažniausiai naudojami metodai yra Crammerio taisyklė arba mastelis. Norint išspręsti abu metodus, būtina matricos pavidalu pateikti sistemos matricą, įskaitant 2x2 sistemą. Galimi du vaizdai: visa matrica ir neišsami matrica:

Pavyzdys:

Sistema 

Gali atstovauti visa matrica

Ir už neišsami matrica

• Crammerio taisyklė

Norėdami rasti 3x3 sistemos su nežinomaisiais x, y ir z sprendimus, naudokite Crammerio taisyklė, būtina apskaičiuoti neišsamios matricos ir jos variantų determinantą. Taigi turime:

D → neužbaigtos sistemos matricos determinantas.

D_x → neužbaigtos sistemos matricos determinantas, x stulpelį pakeisdamas nepriklausomų terminų stulpeliu.

D_y → neužbaigtos sistemos matricos determinantas, y stulpelį pakeisdamas nepriklausomų terminų stulpeliu.

D_z → neužbaigtos sistemos matricos determinantas, z stulpelį pakeisdamas nepriklausomų terminų stulpeliu.

Taigi, norėdami sužinoti jūsų nežinomųjų vertę, pirmiausia turime apskaičiuoti lemiantis D, D_x, D_y susieta su sistema.

Pavyzdys:

1 žingsnis: apskaičiuokite D.

2 žingsnis: apskaičiuoti D_x.

3 žingsnis: tada galime rasti x reikšmę, nes:

4 žingsnis: apskaičiuokite D_y.

5 žingsnis: tada galime apskaičiuoti y vertę:

6-as žingsnis: Dabar, kai žinome x ir y reikšmes, bet kurioje eilutėje galime rasti z reikšmę pakeisdami x ir y reikšmes ir išskirdami z. Kitas variantas yra apskaičiuoti D_z.

Pirmojoje lygtyje pakeičiant x = 0 ir y = 2:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Todėl sistemos sprendimas yra konkursas (0,2, -1).

Taip pat prieiga: Problemų sprendimas lygčių sistemomis

• mastelio keitimas

Kitas linijinių sistemų sprendimo metodas yra mastelio keitimas, kuriame mes naudojame tik visą matricą ir operacijas tarp eilučių, norėdami izoliuoti jų nežinomus. Pažvelkime žemiau esančią sistemą.

1 žingsnis: parašykite visą sistemos matricą.

būti L₁, L₂ ir L₃ atitinkamai matricos 1, 2 ir 3 eilutes, atliksime operacijas tarp L₁ ir L₂ ir L₁ ir L₃, kad rezultatas padarytų antrosios ir trečiosios eilutės pirmojo stulpelio sąlygas lygias nuliui.

Analizuodami antrąją matricos eilutę, pakeiskime ją rezultatu L2 → -2 · L1 + L2, kad nulis būtų terminas a21.

The₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

The₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

The₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

The₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Taigi L₂ bus 0 -3 7 -17.

Analizuodami trečią matricos eilutę, pakeiskime ją rezultatu L3 → 3L1 + L_2, kad būtų pakeistas terminas į_31.

The₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

The₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

The₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

The₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Taigi L₃ bus 0 8 -8 24.

Atkreipkite dėmesį, kad visi dalijasi iš 8, taigi L linija₃ Paprasčiau, padalinkime iš 8.

L₃ → L₃ : 8 bus: 0 1-1 3.

Taigi nauja mastelio lygties matrica bus:

Dabar tikslas yra iš naujo nustatyti stulpelį y trečioje eilutėje, mes atliksime operacijas tarp L₂ ir L₃, su tikslu iš naujo nustatyti vieno iš jų antrąjį stulpelį.

L3 pakeisime L3 → L₂ + 3L₃.

The₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

The₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

The₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

The₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Taigi L₃ bus: 0 0 4 -8.

Naujoji mastelio matrica bus:

Dabar, kai mes vėl vaizduosime šią matricą kaip sistemą, prie stulpelių pridėdami x, y ir z, rasime:

Tada galime rasti kiekvieno nežinomojo vertę. Analizuodami III lygtį, turime:

Jei z = -2, pakeiskite z reikšmę į antrąją lygtį:

Galiausiai pirmojoje lygtyje pakeiskime y ir z reikšmes, kad rastume x reikšmę.

Taip pat žiūrėkite: 1-ojo laipsnio nelygybių sistema - kaip ją išspręsti?

linijinė sistemos klasifikacija

Linijinė sistema yra linijinių lygčių rinkinys, kuris gali turėti keletą nežinomųjų ir kelias lygtis. Yra keli būdai jai išspręsti, neatsižvelgiant į lygčių skaičių. yra trys reitingai linijinei sistemai.

• Nustatyta galima sistema (SPD): kai turite vieną sprendimą.
• Nenustatyta galima sistema (SPI): kai jis turi begalę sprendimų.
• neįmanoma sistema(SI): kai nėra sprendimo.

sprendė pratimus

Klausimas 1 (IFG 2019) Apsvarstykite pagrindo matmenų ir aukščio, palyginti su trikampio pagrindu, matų sumą, lygią 168 cm, o skirtumą - 24 cm. Teisinga teigti, kad pagrindo ir aukščio matavimai, palyginti su šiuo pagrindo matu, yra atitinkamai:

a) 72 cm ir 96 cm

b) 144 cm ir 24 cm

c) 96 cm ir 72 cm

d) 24 cm ir 144 cm

Rezoliucija

C alternatyva.

Tegul h → aukštis ir b → pagrindas, tada turime tokią sistemą:

Pagal papildymo metodą turime:

Norėdami rasti h reikšmę, pakeiskime b = 96 cm į pirmąją lygtį:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

2 klausimas Nepilna matrica, vaizduojanti šią tiesinę sistemą, yra:

Rezoliucija

C alternatyva.

Nebaigta matrica yra ta, kurios koeficientai yra x, y ir z, taigi tai bus 3x3 matrica. Analizuojant alternatyvas, ta raidė C, kurioje yra 3x3 matrica su teisingais ženklais, yra C raidė.

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm