Matrica: kas tai, tipai, operacijos, pavyzdžiai

būstinė jis paprastai naudojamas lentelių duomenims tvarkyti, siekiant palengvinti problemų sprendimą. Matricos informacija, nesvarbu, skaitinė ar ne, išdėstyta tvarkingai eilutėse ir stulpeliuose.

Matricų rinkinys su operacijomis papildymas, atimtis ir dauginimas ir ypatybės, kaip neutralus ir atvirkštinis elementas, sudaro matematinę struktūrą, kuri leidžia jį taikyti įvairiose srityse šios didelės žinių srities.

Taip pat žiūrėkite: Matricos ir tiesinės sistemos ryšys

Matricos vaizdavimas

Prieš pradedant matricų tyrimus, būtina nustatyti keletą jų reprezentacijų žymėjimų. At matricos visada vaizduojamos didžiosiomis raidėmis. (A, B, C ...), prie kurių pridedami indeksai, kuriuose pirmasis skaičius nurodo eilučių skaičių, o antrasis - stulpelių skaičių.

eilučių skaičius (horizontalios eilutės) ir stulpeliai (vertikalios eilutės) matricos nustato ją įsakymas. Matricos A eilė m pagal n. Masyve esanti informacija vadinama elementai ir yra išdėstyti skliaustuose, laužtiniuose skliaustuose arba dviejose vertikaliose juostose, žr. pavyzdžius:

Matrica A turi dvi eilutes ir tris stulpelius, taigi jos tvarka yra dvi po tris → A_2x3.

Matricoje B yra viena eilutė ir keturi stulpeliai, taigi jos eiliškumas yra vienas po kito, taigi jis vadinamas linijos matrica → B_1x4.

Matrica C turi tris eilutes ir vieną stulpelį, todėl ji vadinama stulpelio matrica o jo tvarka yra trys po vieną → C_3x1.

Mes galime bendrai pavaizduoti masyvo elementus, tai yra, mes galime parašyti šį elementą naudodami matematinį vaizdą. Obendrasis elementas bus vaizduojamas mažosiomis raidėmis (a, b, c ...), ir, kaip ir masyvų vaizde, jis taip pat turi indeksą, nurodantį jo vietą. Pirmasis skaičius nurodo eilutę, kurioje yra elementas, o antrasis skaičius nurodo stulpelį, kuriame jis yra.

Apsvarstykite šią matricą A, mes išvardinsime jos elementus.

Stebėdami pirmąjį elementą, esantį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje, tai yra, pirmoje ir pirmoje stulpeliuose, turime skaičių 4. Norėdami palengvinti rašymą, pažymėsime jį taip:

The₁₁ → eilutė vienas elementas, vienas stulpelis

Taigi turime šiuos matricos A elementus_2x3:

The₁₁ = 4

The₁₂ =16

The₁₃ = 25

The₂₁ = 81

The₂₂ = 100

The₂₃ = 9

Apskritai, mes galime parašyti masyvą kaip jo bendrųjų elementų funkciją, tai yra bendroji matrica.

M eilučių ir n stulpelių matricą vaizduoja:

• Pavyzdys

Nustatykite matricą A = [a_t ]_2x2, kuris turi tokį mokymo įstatymą_t = j² - 2i. Iš teiginio duomenų turime, kad matrica A yra eilės du po du, tai yra, ji turi dvi eilutes ir du stulpelius, todėl:

Be to, buvo pateiktas matricos formavimo dėsnis, tai yra, kiekvienas elementas yra patenkintas ryšiu su_t = j² - 2i. Formulėje pakeisdami i ir j reikšmes, turime:

The₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

The₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

The₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

The₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Todėl matrica A yra:

Masyvo tipai

Kai kurios matricos nusipelno ypatingo dėmesio, dabar žiūrėkite šias masyvų tipai su pavyzdžiais.

• kvadratinė matrica

Matrica yra kvadratas, kai eilučių skaičius yra lygus stulpelių skaičiui. Mes vaizduojame matricą, kurioje yra n eilučių ir n stulpelių_ne (skaitykite: n eilės kvadratinė matrica).

Kvadratinėse matricose turime du labai svarbius elementus - įstrižainės: pagrindinė ir antrinė. Pagrindinę įstrižainę sudaro elementai, turintys vienodus indeksus, tai yra kiekvienas elementas a_t su i = j. Antrinę įstrižainę formuoja elementai a_t kur i + j = n +1, kur n yra matricos tvarka.

• tapatybės matrica

Tapatumo matrica yra kvadratinė matrica, kuri turi visitupagrindinės įstrižainės elementai lygūs 1 ir kiti elementai lygūs 0, jo formavimosi dėsnis yra:

Šią matricą žymime I, kur n yra kvadratinės matricos tvarka, žr. Keletą pavyzdžių:

• vieneto matrica

Tai yra pirmos eilės kvadratinė matrica, tai yra, ji turi eilutę ir stulpelį, todėl tik vienas elementas.

A = [-1]_1x1, B = aš₁ = (1)_1x1 ir C = || 5 ||_1x1

Tai yra vienetinių matricų pavyzdžiai, akcentuojant B matricą, kuri yra a vieneto tapatumo matrica.

• nulinė matrica

Masyvas sakomas kaip nulis, jei visi jo elementai yra lygūs nuliui. Mes atstovaujame nulinės m matricos, kurios dydis n_mxn.

Matrica O yra nulinės 4 eilės.

• priešinga matrica

Apsvarstykite dvi vienodo laipsnio matricas: A = [a_t]_mxn ir B = [b_t]_mxn. Šios matricos bus vadinamos priešingomis tik tada, jei_t = -b_t. Taigi, atitinkami elementai turi būti priešingi skaičiai.

Galime pavaizduoti matricą B = -A.

• perkelta matrica

Dvi matricos A = [a_t]_mxn ir B = [b_t]_nxm jie yra perkeltas jei ir tik tuo atveju,_t = b_ji , tai yra, atsižvelgiant į matricą A, norint rasti jos perkėlimą, tiesiog paimkite linijas kaip stulpelius.

Matricos A perkėlimas žymimas A^T. Žr. Pavyzdį:

Žiūrėti daugiau: Atvirkštinė matrica: kas tai yra ir kaip patikrinti

Matricos operacijos

Bendras n x m matricos atvaizdavimas.

Matricų rinkinys turi alabai gerai apibrėžtas pridėjimas ir dauginimas, tai yra, kai mes valdome dvi ar daugiau matricų, operacijos rezultatas vis tiek priklauso matricų rinkiniui. Tačiau kaip yra su atimties operacija? Mes suprantame, kad ši operacija yra atvirkštinė pridėtinė (priešinga matrica), kuri taip pat yra labai gerai apibrėžta.

Prieš apibrėždami operacijas, supraskime jų idėjas atitinkamas elementas ir matricų lygybė. Atitinkami elementai yra tie, kurie skirtingose ​​matricose užima tą pačią poziciją, tai yra, jie yra toje pačioje eilutėje ir stulpelyje. Akivaizdu, kad masyvai turi būti tos pačios eilės, kad egzistuotų suderinantys elementai. Pažvelk:

14 ir -14 elementai yra atitinkami priešingų A ir B matricų elementai, nes jie užima tą pačią padėtį (ta pati eilutė ir stulpelis).

Dvi matricos bus lygios tada ir tik tada, jei atitinkami elementai bus vienodi. Taigi, atsižvelgiant į matricas A = [a_t]_mxn ir B = [b_t]_mxn, tai bus vienodi, jei ir tik_t = b_t bet kokiam i j.

• Pavyzdys

Žinodami, kad A ir B matricos yra lygios, nustatykite x ir t reikšmes.

Kadangi A ir B matricos yra lygios, atitinkami elementai turi būti lygūs, todėl:

x = -1 ir t = 1

• Matricų sudėjimas ir atimimas

Operacijos sudėjimas ir atimimas tarp matricų jie gana intuityvūs, tačiau pirmiausia turi būti įvykdyta sąlyga. Norint atlikti šias operacijas, pirmiausia reikia patikrinti, ar masyvo užsakymai yra lygūs.

Patikrinus šią sąlygą, matrica pridedama ir atimama pridedant arba atimant atitinkamus matricų elementus. Apsvarstykite matricas A = [a_t]_mxn ir B = [b_t]_mxn, tada:

A + B = [a_t + b_t] _mxn

A - B = [a_t - B_t] _mxn

• Pavyzdys

Apsvarstykite žemiau esančias A ir B matricas, nustatykite A + B ir A - B.

Skaityk ir tu: Viso skaičiaus operacijos

• Realiojo skaičiaus padauginimas iš matricos

Realiojo matricos skaičiaus (taip pat žinomo kaip matricos daugybos) padauginimas iš skalaro gaunamas kiekvieną matricos elementą padauginus iš skalaro.

Tegul A = [a_t]_mxn matrica ir t tikrasis skaičius, taigi:

t · A = [t · a_t]_mxn

Žr. Pavyzdį:

• Matricos daugyba

Matricų dauginimas nėra toks nereikšmingas dalykas, kaip jų pridėjimas ir atimimas. Prieš atliekant dauginimą, taip pat turi būti įvykdyta sąlyga dėl matricų eilės. Apsvarstykite matricas A_mxn ir B_nxr.

Norėdami atlikti dauginimą, pirmosios matricos stulpelių skaičius turi būti lygus antrosios eilių skaičiui. Produkto matricoje (kuri gaunama padauginus) eiliškumas pateikiamas pirmųjų eilučių skaičiumi ir antrųjų stulpelių skaičiumi.

Norėdami atlikti dauginimą tarp A ir B matricų, turime padauginti kiekvieną eilutę iš visų stulpelių taip: pirmasis elementas A padauginamas iš pirmojo B elemento, tada pridedamas prie antrojo A elemento ir padauginamas iš antrojo B elemento, taigi iš eilės. Žr. Pavyzdį:

Skaityk ir tu: Laplaso teorema: žinoti, kaip ir kada naudoti

Pratimai išspręsti

Klausimas 1 - (U. IR. Londrina - PR) Tegul matricos A ir B yra atitinkamai 3 x 4 ir p x q, o jei matricos A · B eilė yra 3 x 5, tai tiesa, kad:

a) p = 5 ir q = 5

b) p = 4 ir q = 5

c) p = 3 ir q = 5

d) p = 3 ir q = 4

e) p = 3 ir q = 3

Sprendimas

Turime teiginį, kad:

_3x4 · B_pxq = C_3x5

Iš dviejų matricų padauginimo sąlygos turime tai, kad produktas egzistuoja tik tuo atveju, jei pirmojo stulpelių skaičius yra lygus antrojo eilučių skaičiui, taigi p = 4. Taip pat žinome, kad sandaugos matricą pateikia eilučių skaičius pirmame, o stulpelių skaičius antrame, taigi q = 5.

Todėl p = 4 ir q = 5.

A: Alternatyva b

2 klausimas - (Vunesp) Nustatykite x, y ir z reikšmes pagal tokią lygybę, įtraukdami 2 x 2 tikrąsias matricas.

Sprendimas

Atlikime operacijas tarp masyvų ir tada jų lygybę.

Norėdami nustatyti x, y ir z vertę, išspręsime tiesinę sistemą. Iš pradžių pridėkime (1) ir (2) lygtis.

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Pakeisdami (3) lygtyje rastą x vertę, turime:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Galiausiai, pakeisdami x ir z reikšmes, esančias (1) arba (2) lygtyje, turime:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Todėl problemos sprendimą pateikia S = {(2, 0, 2)}.

pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja