Vienas aritmetinė progresija (PA) yra a seka skaitinis, kuriame kiekvienas terminas yra ankstesnio konstanta suma, vadinama santykiu. Jie egzistuoja matematinės išraiškos nustatyti PA terminą ir apskaičiuoti jo sumą ne pirmosios sąlygos.
Formulė, naudojama apskaičiuojant terminų suma baigtinės PA arba sumos ne pirmosios PA sąlygos yra tokios:
sne = prie1 +ne)
2
* n yra BP terminų skaičius; The1 yra pirmasis terminas, one yra paskutinis.
PA sąlygų sumos kilmė
Teigiama, kad maždaug 10 metų vokiečių matematikas Carlas Friederichas Gaussas buvo nubaustas savo klase mokykloje. Mokytoja liepė mokiniams susumuoti visus skaičius, kurie rodomi programoje seka nuo 1 iki 100.
Gaussas ne tik pirmas finišavo per labai trumpą laiką, bet ir vienintelis pasiekė teisingą rezultatą (5050). Be to, ji neparodė jokių skaičiavimų. Tai, ką jis padarė, buvo remontuoti šį turtą:
Dviejų terminų suma, esanti vienodu atstumu nuo baigtinio PA kraštutinumų, yra lygi kraštutinių sumoms.
Nebuvo žinių apie PAN tuo metu, bet Gausas peržiūrėjo skaičių sąrašą ir suprato, kad pridėjus pirmąjį prie paskutinio, bus 101; pridedant antrą prie priešpaskutinio, rezultatas taip pat būtų 101 ir pan. Kaip visų terminų porų suma
vienodo atstumo kraštutinumų pasiekė 101, Gauss turėjo tik padauginti šį skaičių per pusę turimų terminų, kad surastų 5050 rezultatą.Atkreipkite dėmesį, kad nuo skaičiaus 1 iki skaičiaus 100 yra tiksliai 100 skaičių. Gausas suprato, kad jei pridės juos po du, gaus 50 rezultatų, lygių 101. Todėl šis dauginimas buvo atliktas puse visų terminų.
PA terminų sumos demonstravimas
Šis žygdarbis sukėlė išraišką, naudojamą apskaičiuojant suma ne pirmosios PA sąlygos. Šiai išraiškai pasiekti naudojama taktika yra tokia:
duota viena PAN bet kurį, pridėsime pirmuosius n jo terminų. Matematiškai turėsime:
sne =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +ne
Kiek žemiau terminų suma, parašysime dar vieną, tomis pačiomis sąlygomis kaip ir ankstesni, bet mažėjančia prasme. Atkreipkite dėmesį, kad pirmojo terminų suma lygi antrosios terminų sumai. Todėl abu buvo prilyginti Sne.
sne =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +ne
sne =ne +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
Atkreipkite dėmesį, kad šios dvi išraiškos buvo gautos iš vieno PAN ir kad vienodais atstumais esantys terminai būtų sulygiuoti vertikaliai. Todėl galime pridėti išraiškas, kad gautume:
sne =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +ne
+ sne =ne +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
2Sne = (1 +ne) + (a2 +n - 1) +… + (An - 1 +2) + (ane +1)
Atminkite, kad vienodų atstumų nuo kraštutinių terminų suma yra lygi kraštutinių sumų sumai. Todėl kiekvieną skliaustą galima pakeisti kraštutinių sumų suma, kaip mes darysime toliau:
2Sne = (1 +ne) + (a1 +ne) +... + (1 +ne) + (a1 +ne)
Gausso idėja buvo pridėti vienodus atstumo sekos terminus. Taigi jis gavo pusę terminų sumos PAN rezultatuose 101. Mes padarėme taip, kad kiekvienas pradinio BP terminas būtų pridėtas prie jo vienodo atstumo vertės, išsaugant jį terminų skaičius. Taigi, kadangi PA turėjo n terminų, mes galime pakeisti sumą aukščiau pateiktoje išraiškoje padauginę ir išspręsti lygtis rasti:
2Sne = (1 +ne) + (a1 +ne) +... + (1 +ne) + (a1 +ne)
2Sne = n (a1 +ne)
sne = prie1 +ne)
2
Tai yra tiksliai formulė, naudojama pridedant ne pirmosios PA sąlygos.
Pavyzdys
Atsižvelgdami į P.A (1, 2, 3, 4), nustatykite jo pirmųjų 100 terminų sumą.
Sprendimas:
Turėsime rasti terminą a100. Tam naudosime bendrosios sąvokos formulė PA:
Thene =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Dabar formulė susumuoti pirmuosius n terminus:
sne = prie1 +ne)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Autorius Luizas Paulo Moreira
Baigė matematiką
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm