Į operacijos su rinkiniais jie yra sąjunga, sankirta ir skirtumas. Kiekvienos iš šių operacijų rezultatas yra naujas rinkinys. Norėdami nurodyti sąjungą tarp aibių, naudojame simbolį ∪; sankryžoje simbolis ∩; o skirtumui – simbolis atimti\(-\). Esant skirtumams, būtina laikytis operacijos atlikimo tvarkos. Kitaip tariant, jei A ir B yra aibės, skirtumas tarp A ir B skiriasi nuo skirtumo tarp B ir A.
Taip pat skaitykite: Venno diagrama – geometrinis aibių ir operacijų tarp jų vaizdas
Veiksmų su aibėmis suvestinė
Veiksmai su aibėmis yra: jungtis, sankirta ir skirtumas.
Aibių A ir B sąjunga (arba susitikimas) yra aibė A ∪ B, sudaryta iš elementų, kurie priklauso A arba priklauso B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ arba\ x∈B\}\)
Aibių A ir B sankirta yra aibė A ∩ B, sudaryta iš elementų, priklausančių A ir priklausančių B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ ir\ x∈B\}\)
Skirtumas tarp aibių A ir B yra aibė A – B, sudaryta iš elementų, kurie priklauso A ir nepriklauso B.
\(A -B =\{x; x∈A\e\x∉B\}\)
Jei U (žinoma kaip visatos aibė) yra aibė, kurioje yra visos tam tikrame kontekste esančios aibės, skirtumas U – A, kai A ⊂ U, vadinamas A papildiniu. A papildinį sudaro elementai, kurie nepriklauso A ir yra pavaizduoti
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video pamoka apie operacijas su rinkiniais
Kokios yra trys operacijos su aibėmis?
Trys operacijos su rinkiniais yra: sąjunga, sankirta ir skirtumas.
Rinkinių sąjunga
Aibių A ir B sąjunga (arba susitikimas) yra aibė A ∪ B (skaitykite „Sąjunga B“). Šis rinkinys sudarytas iš visų elementų, priklausančių rinkiniui A arba priklauso aibei B, tai yra elementai, priklausantys bent vienai iš rinkinių.
Pavaizduodami A ∪ B elementus x, rašome
\(A∪B=\{x; x∈A\ arba\ x∈B\}\)
Žemiau esančiame paveikslėlyje oranžinė sritis yra rinkinys A ∪B.
Atrodo sunku? Pažvelkime į du pavyzdžius!
1 pavyzdys:
Kas yra aibė A ∪ B, jei A = {7, 8} ir B = {12, 15}?
Aibę A ∪ B sudaro elementai, priklausantys A arba priklauso B. Kadangi elementai 7 ir 8 priklauso aibei A, tai abu jie turi priklausyti aibei A ∪ B. Be to, kadangi elementai 12 ir 15 priklauso aibei B, tai abu turi priklausyti aibei A ∪ B.
Todėl,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas A∪B elementas priklauso aibei A arba aibei B.
2 pavyzdys:
Apsvarstykite aibes A = {2, 5, 9} ir B = {1, 9}. Kas yra aibė A ∪ B?
Kadangi elementai 2, 5 ir 9 priklauso aibei A, tai jie visi turi priklausyti aibei A∪B. Be to, kadangi elementai 1 ir 9 priklauso aibei B, jie visi turi priklausyti aibei A ∪ B.
Atkreipkite dėmesį, kad 9 paminėjome du kartus, nes šis elementas priklauso aibėms A ir aibėms B. Sakydami, kad „aibę A ∪ B sudaro elementai, priklausantys A arba priklauso B“ neatmeta elementų, kurie vienu metu priklauso aibėms A ir B.
Taigi, šiame pavyzdyje mes turime
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Atkreipkite dėmesį, kad elementą 9 rašome tik vieną kartą.
Aibių sankirta
Aibių A ir B sankirta yra aibė A ∩ B (skaitykite „Skirta B“). Šis rinkinys sudarytas iš visų elementų, priklausančių rinkiniui A tai yra priklauso B rinkiniui. Kitaip tariant, A ∩ B susideda iš bendrų aibių A ir B elementų.
A ∩ B elementus nurodę x, rašome
\(A∩B=\{x; x∈A\ ir\ x∈B\}\)
Žemiau esančiame paveikslėlyje oranžinė sritis yra rinkinys A ∩B.
Išspręskime du pavyzdžius apie aibių sankirtą!
1 pavyzdys:
Apsvarstykite, kad A = {-1, 6, 13} ir B = {0, 1, 6, 13}. Kas yra aibė A ∩ B?
Aibę A ∩ B sudaro visi elementai, priklausantys aibei A tai yra priklauso B rinkiniui. Atkreipkite dėmesį, kad 6 ir 13 elementai vienu metu priklauso aibėms A ir B.
Kaip šitas,
A ∩ B={6, 13}
2 pavyzdys:
Kokia sankirta tarp aibių A = {0,4} ir \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Atkreipkite dėmesį, kad tarp aibių A ir B nėra bendro elemento. Taigi sankirta yra aibė be elementų, tai yra tuščia aibė.
Todėl,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Skirtumas tarp rinkinių
Skirtumas tarp aibių A ir B yra aibė A – B (skaitykite „skirtumas tarp A ir B“). Šį rinkinį sudaro visi elementai, kurie priklauso aibei ir nepriklauso aibei B.
Pavaizduodami A – B elementus x, rašome
\(A-B=\{x; x∈A\ ir\ x∉B\}\)
Žemiau esančiame paveikslėlyje oranžinė sritis yra rinkinys A – B.
Dėmesio: skirtumas tarp aibių A ir B nėra skirtumas tarp aibių B ir A, nes B – A sudaro visi elementai, kurie priklauso aibei B ir nepriklauso aibei A.
Apsvarstykite du toliau pateiktus pavyzdžius apie skirtumus tarp rinkinių.
1 pavyzdys:
Jei A = {-7, 2, 100} ir B = {2, 50}, tai kokia yra aibė A – B? O rinkinys B – A?
RinkinysA-B yra sudarytas iš visų elementų, priklausančių aibei A tai yrane priklauso B rinkiniui. Atkreipkite dėmesį, kad 2 yra vienintelis elementas aibėje A, kuris taip pat priklauso aibei B. Taigi 2 nepriklauso aibei A – B.
Todėl,
A – B = {–7 100}
Be to, aibę B – A sudaro visi elementai, priklausantys aibei B tai yrane priklauso A rinkiniui. Todėl,
B – A = {50}
2 pavyzdys:
Kuo skiriasi aibė A = {–4, 0} ir aibė B = {–3}?
Atkreipkite dėmesį, kad nė vienas iš A elementų nepriklauso B. Taigi skirtumas A – B yra pati aibė A.
\(A – B = \{-4,0\} = A\)
Stebėjimas: Apsvarstykite, kad U (vadinamas visatos rinkiniu) yra aibė, kurioje yra visos kitos aibės tam tikroje situacijoje. Kaip šitas, skirtumas U–A, su A⊂U, yra rinkinys, vadinamas A papildymu ir vaizduojamas kaip \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Toliau pateiktame paveikslėlyje stačiakampis yra visatos rinkinys, o oranžinė sritis yra visatos rinkinys \(B.C\).
Žinoti daugiau: Žingsnis po žingsnio, kaip padaryti padalijimą
Išspręsti pratimai rinkinio operacijoms
Klausimas 1
Apsvarstykite aibes A = {–12, –5, 3} ir B = {–10, 0, 3, 7} ir kiekvieną toliau pateiktą teiginį suskirstykite į T (teisinga) arba F (klaidinga).
aš. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Teisinga tvarka iš viršaus į apačią yra
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Rezoliucija
aš. Netiesa.
Elementas 0 turi priklausyti A ir B sąjungai, nes 0 ∈ B. Taigi, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Tiesa.
III. Tiesa.
Alternatyva B.
2 klausimas
Apsvarstykite, kad A = {4, 5}, B = {6,7} ir C = {7,8}. Tada aibė A ∪ B ∩ C yra
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rezoliucija
Atkreipkite dėmesį, kad A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Todėl aibė A ∪ B ∩ C yra sankirta tarp A ∪ B = {4, 5, 6, 7} ir C = {7,8}. Netrukus
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatyva A.
Šaltiniai
LIMA, Elonas L.. Analizės kursas. 7 leid. Rio de Žaneiras: IMPA, 1992 m. v.1.
LIMA, Elonas L. ir kt. Vidurinės mokyklos matematika. 11. red. Matematikos mokytojų rinkinys. Rio de Žaneiras: SBM, 2016 m. v.1.
