Pažangos: kokie jie, tipai, formulės, pavyzdžiai

Mes žinome kaip progresijos konkrečiais atvejais skaičių sekos. Yra du progresavimo atvejai:

• aritmetinė progresija

• geometrinė progresija

Norėdami būti progresija, turime išanalizuoti sekos ypatybes, jei yra tai, ką mes vadiname priežastimi. kai progresas yra aritmetika, priežastis yra ne kas kita, kaip konstanta, kurią pridedame prie termino, kad surastume jo įpėdinį sekoje; dabar, kai dirba su progresavimu geometrinis, protas atlieka panašią funkciją, tik šiuo atveju priežastis yra pastovus terminas, kuriuo mes padauginame terminą iš eilės, kad rastume jo įpėdinį.

Dėl nuspėjamas elgesys progresijos, yra konkrečios formulės, kaip rasti bet kurį terminą šiose sekose, taip pat galima sukurti a kiekvienos iš jų formulė (t. y. viena aritmetinei progresijai ir viena geometrinei progresijai), kad būtų galima apskaičiuoti sumą Nuone pirmieji šios pažangos terminai.

Taip pat skaitykite: Funkcijos - kas tai yra ir kam jos skirtos?

Pupelių kiekis per derlių elgiasi kaip geometrinė progresija

skaičių seka

Norėdami suprasti, kas yra progresijos, pirmiausia turime suprasti, kas jie yra skaičių sekos. Kaip rodo pavadinimas, mes žinome skaičių seką a skaičių rinkinys, kuris atitinka tvarką, yra gerai apibrėžtas ar ne. Skirtingai nuo rinkiniai skaitmenys, kur tvarka nesvarbi, skaitine seka yra svarbi tvarka, pavyzdžiui:

Seka (1, 2, 3, 4, 5) skiriasi nuo (5, 4, 3, 2, 1), kuri skiriasi nuo sekos (1, 5, 4, 3, 2). Net jei elementai yra vienodi, nes tvarka yra skirtinga, todėl mes turime skirtingas sekas.

Pavyzdžiai:

Galime parašyti sekas, kurių dariniai yra lengvai matomi:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → porinių skaičių seka mažesnė arba lygi 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → nelyginių skaičių regresinė seka nuo 17 iki 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → žinomas kaip Fibonači seka.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → nors šios sekos aprašyti negalima kaip kitų, lengva nuspėti, kokie bus jos kiti terminai.

Kitais atvejais sekų reikšmėse gali būti bendras atsitiktinumas, kad ir kaip būtų seka, svarbu turėti užsakytų verčių rinkinį.

iki 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Kiek neįmanoma numatyti, kas yra kiti raidės b raidės terminai, mes vis tiek dirbame su tęsiniu.

Apskritai, eilutės visada vaizduojamos skliausteliuose (), tokiu būdu:

(₁, a₂,₃, a₄,₅, a₆, a₇, a₈ …) → begalinė seka

(₁, a₂,₃, a₄,₅, a₆, a₇, a₈ … A_ne) → baigtinė seka

Abiem atvejais mes atstovaujame taip:

The₁ → pirmoji kadencija

The₂ → antroji kadencija

The₃ → trečioji kadencija

.

.

.

The_ne → n-oji kadencija

Stebėjimas: Labai svarbu, kad vaizduojant seką duomenys būtų uždaryti skliausteliuose. Sekos žymėjimas dažnai painiojamas su nustatytu žymėjimu. Rinkinys atvaizduojamas petnešomis, o rinkinyje tvarka nėra svarbi, todėl šiuo atveju viskas skiriasi.

(1, 2, 3, 4, 5) → seka

{1, 2, 3, 4, 5} → nustatyti

Yra tam tikrų sekos atvejų, kurie vadinami progresavimais.

Taip pat žiūrėkite: Koks yra pagrindinis skaičiavimo principas?

Kas yra progresijos?

Seka apibrėžiama kaip progresija, kai ji turi a dėsningumas iš vieno termino į kitą, žinomas kaip priežastis. Yra du progresavimo atvejai, aritmetinė progresija ir geometrinė progresija. Norėdami žinoti, kaip atskirti kiekvieną iš jų, turime suprasti, kokia yra progresavimo priežastis ir kaip ši priežastis sąveikauja su sekos terminais.

Kai iš vieno termino į kitą sekoje turiu a pastovi suma, ši seka apibrėžiama kaip progresija, o šiuo atveju tai yra a aritmetinė progresija. Ši vertė, kurią mes nuolat dedame, yra žinoma kaip santykis. Kitas atvejis, tai yra, kai seka yra a geometrinė progresija, nuo vieno termino prie kito yra a padauginus iš pastoviosios vertės. Analogiškai ši vertė yra geometrinės progresijos santykis.

Pavyzdžiai:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → atkreipkite dėmesį, kad mes visada pridedame 3 iš vieno termino į kitą, taigi mūsų aritmetinė santykio progresija lygi 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → šiuo atveju mes visada dauginame iš 10 iš vieno termino į kitą, nagrinėdami santykio 10 geometrinę progresiją.

c) (0, 2, 8, 26…) → pastaruoju atveju yra tik viena seka. Norėdami rasti kitą terminą, padauginsime terminą iš 3 ir pridėsime 2. Šis atvejis, nors yra dėsningumas ieškant kitų terminų, tai tik seka, o ne aritmetinė ar geometrinė progresija.

aritmetinė progresija

Kai dirbame su skaičių sekomis, tos sekos, kuriomis galime numatyti tolesnius jų terminus, yra gana pasikartojančios. Kad ši seka būtų klasifikuojama kaip a aritmetinė progresija, turi būti a priežastis a. Nuo pirmosios kadencijos yra kitas sukonstruota pagal ankstesnės kadencijos sumą su priežastimi r.

Pavyzdžiai:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Tai yra seka, kurią galima priskirti aritmetinei progresijai, nes priežastis r = 3, o pirmasis terminas yra 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

Ši seka yra aritmetinė progresija, turinti svarių priežasčių. r = -5, o jo pirmoji kadencija yra 7.

• PA sąlygos

Daugeliu atvejų mūsų interesas yra rasti konkretų progresijos terminą, nereikalaujant parašyti visos sekos. Žinant pirmojo termino vertę ir santykį, galima rasti bet kurio termino vertę aritmetinėje progresijoje. Norėdami rasti arimetinės progresijos sąlygas, mes naudojame formulę:

The_ne =₁+ (n - 1) r

Pavyzdys:

Raskite 25-ąją P.A kadenciją 3, o pirmoji - 12 kadenciją.

Duomenys r = 3,₁ = 12. Mes norime rasti 25-ąją kadenciją, tai yra, n = 25.

The_ne =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• Bendrasis P.A.

Bendra termino formulė yra a būdas supaprastinti AP termino formulę kad būtų galima greičiau rasti bet kurį progresavimo terminą. Kai žinomas pirmasis terminas ir priežastis, pakanka formulėje pakeisti P. A. terminą, kad būtų galima rasti bendrą aritmetinės progresijos terminą, kuris priklauso tik nuo ne.

Pavyzdys:

Raskite bendrą P. A. terminą r = 3 ir₁ = 2.

The_ne = 2 + (n -1) r

The_ne = 2 + (n -1) 3

The_ne = 2 + 3n - 3

The_ne = 2n - 1

Tai yra bendrasis A.A. terminas, kuris padeda rasti bet kurį šios progresijos terminą.

• PA sąlygų suma

PA sąlygų suma būtų gana varginantis, jei reikėtų surasti kiekvieną jo terminą ir juos susumuoti. Visų sumai apskaičiuoti yra formulė ne pirmieji aritmetinės progresijos terminai:

Pavyzdys:

Raskite visų nelyginių skaičių sumą nuo 1 iki 100.

Mes žinome, kad nelyginiai skaičiai yra aritmetinė santykio 2 progresija: (1, 3, 5, 7... 99). Šioje progresijoje yra 50 terminų, nes nuo 1 iki 100 pusė skaičių yra lyginiai, o kita pusė nelyginė.

Todėl turime:

n = 50

The₁ = 1

The_ne = 99

Taip pat prieiga: 1 laipsnio funkcija - praktinis aritmetinės progresijos panaudojimas

Geometrinė progresija

Stygas taip pat galima klasifikuoti kaip prprogresija geometrinis (PG). Kad seka būtų geometrinė progresija, ji turi turėti priežastį, tačiau šiuo atveju norėdami rasti kitą terminą iš pirmojo termino, mes atliekame santykio padauginimas iš ankstesnio termino.

Pavyzdžiai:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → 2 santykio geometrinė progresija, o jo pirmoji kadencija yra 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → 10 santykio geometrinė progresija, o jo pirmoji kadencija yra 20.

• PG terminas

Geometrinėje progresijoje mes atstovaujame raidės priežastį ką. Geometrinės progresijos terminą galima rasti pagal formulę:

The_ne =₁ · ką^{n - 1}

Pavyzdys:

Raskite 10-ą PG kadenciją, tai žinodami ką = 2 ir₁ = 5.

The_ne =₁ · ką^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• Bendrasis PG terminas

Kai mes žinome pirmąjį terminą ir priežastį, galima sukurti bendrą termino formulę iš geometrinės progresijos, kuri priklauso tik nuo ne. Norėdami tai padaryti, mums tiesiog reikia pakeisti pirmąjį terminą ir santykį, ir rasime lygtį, kuri priklauso tik nuo ne.

Naudojant ankstesnį pavyzdį, kai santykis yra 2, o pirmasis terminas yra 5, bendras šio GP terminas yra:

The_ne =₁ · ką^{n - 1}

The_ne = 5 · 2^{n - 1}

• PG terminų suma

Pridėjus visas progresijos sąlygas būtų daug darbo. Daugeliu atvejų užrašyti visą seką, kad būtų pasiekta ši suma, užima daug laiko. Kad būtų lengviau atlikti šį skaičiavimą, geometrinė progresija turi formulę, kuri naudojama apskaičiuojant suma ne pirmieji elementai baigtinio PG:

Pavyzdys:

Raskite pirmųjų 10 bendrosios praktikos gydytojų kadencijų sumą (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Atkreipkite dėmesį, kad šio PG santykis yra lygus 2.

The₁ = 1

ką = 2

ne = 10

Taip pat skaitykite: Eksponentinė funkcija - praktinis geometrinės progresijos panaudojimas

sprendė pratimus

Klausimas 1 - Keletą dienų mokslininkai stebi tam tikrą bakterijų kultūrą. Vienas iš jų analizuoja šios populiacijos augimą ir pastebėjo, kad pirmą dieną buvo 100 bakterijų; antroje - 300 bakterijų; trečioje - 900 bakterijų ir t. Analizuodami šią seką galime pasakyti, kad tai yra:

A) aritmetinė priežasties progresija 200.

B) geometrinė santykio 200 progresija.

C) 3 priežasties arimetinė progresija.

D) geometrinė santykio 3 progresija.

E) seka, bet ne progresija.

Rezoliucija

D alternatyva.

Analizuodami seką turime terminus:

Atkreipkite dėmesį, kad 900/300 = 3, taip pat 300/100 = 3. Todėl mes dirbame su PG santykiu 3, nes mes dauginame iš trijų nuo pirmosios kadencijos.

2 klausimas - (Enem - PPL) Bėgimo pradinukui buvo nustatytas toks dienos treniruočių planas: pirmą dieną nubėgti 300 metrų, o nuo antros - padidinti 200 metrų per dieną. Norėdami suskaičiuoti savo pasirodymą, jis naudos lustą, pritvirtintą prie sportbačio, matuodamas treniruotėje įveiktą atstumą. Apsvarstykite, kad šis lustas atmintyje saugo ne daugiau kaip 9,5 km bėgimo / ėjimo. Jis turi būti įdėtas treniruotės pradžioje ir išmesti išnaudojus vietą duomenų rezervui. Jei šis sportininkas lustą naudoja nuo pirmos treniruotės dienos, kiek dienų iš eilės šis lustas galės išsaugoti to dienos treniruočių plano ridą?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Rezoliucija

B alternatyva.

Analizuodami situaciją žinome, kad turime PA, kurio priežastis yra 200, o pradinė pabaiga lygi 300.

Be to, mes žinome, kad suma S_ne = 9,5 km = 9500 metrų.

Turėdami šiuos duomenis, rasime terminą a_ne, kuris yra paskutinę saugojimo dieną užfiksuotų kilometrų skaičius.

Taip pat verta prisiminti, kad bet koks terminas a_ne galima parašyti taip:

The_ne =₁ + (n - 1)r

Atsižvelgdami į lygtį 200n² + 400n - 19000 = 0, galime padalyti visus terminus iš 200, supaprastindami lygtį ir nustatydami: n² + 2n - 95 = 0.

Delta ir Bhaskara turime:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Mes žinome, kad 8,75 atitinka 8 dienas ir kelias valandas. Šiuo atveju dienų, per kurias galima atlikti matavimą, skaičius yra 8.

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm