Hiperbolė. hiperbolės apibrėžimas

Kas yra hiperbolis?
Apibrėžimas: Tegul F1 ir F2 yra du taškai plokštumoje ir tegul 2c yra atstumas tarp jų, hiperbolė yra aibė taškų plokštumoje, kurių atstumų iki F1 ir F2 skirtumas (modulyje) yra konstanta 2a (0 <2a <2c).
Hiperbolės elementai:

F1 ir F2 → yra hiperbolės židiniai
→ yra hiperbolės centras
2c → židinio nuotolis
2-osios → tikrosios ar skersinės ašies matavimas
2b → menamos ašies matavimas
c / a → ekscentriškumas
Tarp a, b ir c → c yra ryšys² =² + b²

Sumažinta hiperbolo lygtis
1-asis atvejis: hiperbolė su židiniu x ašyje

Akivaizdu, kad šiuo atveju židiniai turės koordinates F1 (-c, 0) ir F2 (c, 0).
Taigi sumažinta elipsės lygtis su Dekarto plokštumos pradžios centru ir orientuota į x ašį bus:

2-asis atvejis: hiperbolė su židiniais y ašyje.

Tokiu atveju židiniai turės F1 (0, -c) ir F2 (0, c) koordinates.
Taigi, sumažinta elipsės lygtis su Dekarto plokštumos pradžios centru ir sutelkta į y ašį:

1 pavyzdys. Raskite sumažintą hiperbolės su realiąja ašimi lygtį, židinius F1 (-5, 0) ir F2 (5, 0).

Sprendimas: Mes turime
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) ir F2 (5, 0) → c = 5
Iš puikių santykių mes gauname:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Taigi sumažintą lygtį pateiks:

2 pavyzdys. Raskite sumažintą hiperbolo lygtį, kurioje yra du židiniai su F2 koordinatėmis (0, 10) ir įsivaizduojama ašis, matuojanti 12.
Sprendimas: Mes turime
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Naudodamiesi puikiais santykiais, gauname:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Taigi sumažintą hiperbolo lygtį pateiks:

3 pavyzdys. Lygtimi nustatykite hiperbolės židinio nuotolį
Sprendimas: Kadangi hiperbolo lygtis yra tipo  Mes privalome
The² = 16 ir b² =9
Iš puikių santykių, kuriuos gauname
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Židinio nuotolį nurodo 2c. Taigi,
2c = 2 * 5 = 10
Taigi židinio nuotolis yra 10.

Autorius Marcelo Rigonatto
Statistikos ir matematinio modeliavimo specialistas
Brazilijos mokyklos komanda

Analitinė geometrija - Matematika - Brazilijos mokykla