simetrinė matrica yra būstinė kuriame kiekvienas elementas \(a_{ij}\) yra lygus elementui \(a_{ji}\) visoms i ir j reikšmėms. Vadinasi, kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui. Taip pat verta paminėti, kad kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė ir kad pagrindinė įstrižainė veikia kaip simetrijos ašis.
Taip pat skaitykite:Matricos sudėjimas ir atėmimas – kaip apskaičiuoti?
Santrauka apie simetrinę matricą
Simetriškoje matricoje \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir j.
Kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė.
Kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui.
Simetrinės matricos elementai yra simetriški pagrindinės įstrižainės atžvilgiu.
Būdami simetrinėje matricoje \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir j; antisimetrinėje matricoje, \(a_{ij}=-a_{ji}\) visiems i ir j.
Kas yra simetrinė matrica?
Simetrinė matrica yra kvadratinė matrica kur \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) už kiekvieną i ir kiekvieną j. Tai reiškia, kad \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)ir tt visoms galimoms i ir j reikšmėms. Atminkite, kad galimos i reikšmės atitinka matricos eilutes, o galimos j reikšmės atitinka matricos stulpelius.
Simetrinių matricų pavyzdžiai
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Nesimetrinių matricų pavyzdžiai (apsvarstykite \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Svarbu: Pasakyti, kad matrica nėra simetriška, reiškia tai parodyti \(a_{ij}≠a_{ji}\) bent jau kai kuriems i ir j (ką galime pamatyti palyginę ankstesnius pavyzdžius). Tai skiriasi nuo antisimetrinės matricos koncepcijos, kurią pamatysime vėliau.
Kokios yra simetrinės matricos savybės?
Kiekviena simetriška matrica yra kvadratinė
Atkreipkite dėmesį, kad simetrinės matricos apibrėžimas pagrįstas kvadratinėmis matricomis. Taigi, kiekviena simetriška matrica turi tiek pat eilučių, kiek stulpelių.
Kiekviena simetriška matrica yra lygi jos perkėlimui
Jei A yra matrica, jos perkelta (\(A^T\)) apibrėžiama kaip matrica, kurios eilutės yra A stulpeliai, o stulpeliai yra A eilutės. Taigi, jei A yra simetrinė matrica, mes turime \(A=A^T\).
Simetriškoje matricoje elementai „atspindi“ pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
Kaip \(a_{ij}=a_{ji}\) simetrinėje matricoje virš pagrindinės įstrižainės esantys elementai yra žemiau esančių elementų „atspindys“. įstrižainės (arba atvirkščiai) įstrižainės atžvilgiu, kad pagrindinė įstrižainė veiktų kaip ašis simetrija.
Kuo skiriasi simetrinė matrica ir antisimetrinė matrica?
Jei A yra simetrinė matrica, tada \(a_{ij}=a_{ji}\) visiems i ir visiems j, kaip mes studijavome. Antisimetrinės matricos atveju situacija yra kitokia. Jei B yra antisimetrinė matrica, tada \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) už kiekvieną i ir kiekvieną j.
Atkreipkite dėmesį, kad tai lemia \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), tai yra, pagrindiniai įstrižainės elementai lygūs nuliui. To pasekmė yra ta, kad antisimetrinės matricos transponavimas yra lygus jos priešingumui, tai yra, jei B yra antisimetrinė matrica, tada \(B^T=-B\).
Antisimetrinių matricų pavyzdžiai
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Taip pat žiūrėkite: Tapatybės matrica – matrica, kurioje pagrindiniai įstrižainės elementai yra lygūs 1, o likę elementai lygūs 0
Spręsti pratimai ant simetrinės matricos
Klausimas 1
(„Unicentro“)
jei matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) yra simetriškas, todėl xy reikšmė yra:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rezoliucija:
Alternatyva A
Jei duota matrica yra simetriška, tada simetriškose pozicijose esantys elementai yra lygūs (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Todėl turime:
\(x = y – 1\)
\(x + 5 = 7\)
Pirmojo pakeitimas lygtis antruoju darome išvadą \(y=3\), greitai:
\(x=2\) tai yra \(xy=6\)
2 klausimas
(UFSM) Žinant, kad matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) yra lygus jo transponavimui, vertei \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rezoliucija:
Alternatyva C
Kadangi duota matrica yra lygi jos transponavimui, tai yra simetriška matrica. Taigi simetriškose padėtyse esantys elementai yra lygūs (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.y:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30 = 5x\)
Pagal pirmąją lygtį, x=-6 arba x=6. Pagal trečiąją lygtį gauname teisingą atsakymą: x = -6. Pagal antrąją lygtį, y = 11.
Netrukus:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
