A proporcija auksinis arba dieviškoji proporcija yra lygybė, susijusi su harmonijos, grožio ir tobulumo idėjomis. Euklidas Aleksandrietis, graikų matematikas, gyvenęs apie 300 m. C., buvo vienas pirmųjų mąstytojų, formalizavusių šią koncepciją, kuri iki šiol intriguoja įvairių sričių tyrinėtojus.
Šio susidomėjimo priežastis yra ta, kad aukso pjūvį galima apytiksliai stebėti gamtoje, įskaitant augalų sėklas ir lapus bei žmogaus organizmą. Todėl aukso pjūvis yra įvairių specialistų, tokių kaip biologai, architektai, menininkai ir dizaineriai, tyrimo objektas.
Taip pat skaitykite: Skaičius pi – viena iš svarbiausių matematikos konstantų
Šio straipsnio temos
- 1 – aukso pjūvio santrauka
- 2 - Kaip apskaičiuoti auksinį skaičių?
- 3 – aukso pjūvis ir Fibonačio seka
- 4 – auksinis pjūvis ir auksinis stačiakampis
-
5 - Auksinio pjūvio taikymas
- Auksinis santykis architektūroje
- Aukso santykis žmogaus organizme
- aukso pjūvis mene
- Aukso pjūvis gamtoje
- Auksinis santykis dizaine
- 6 – išspręsti aukso pjūvio pratimai
Santrauka apie aukso pjūvį
Auksinis pjūvis yra santykis už \(a>b>0\) toks kad
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Tokiomis sąlygomis priežastis TheB vadinamas auksiniu pjūviu.
Aukso pjūvis yra susijęs su pusiausvyros, grynumo ir tobulumo sampratomis.
Graikiška raidė ϕ (skaityti: fi) reiškia auksinį skaičių, kuris yra konstanta, gauta iš aukso pjūvio.
Fibonačio sekoje koeficientai tarp kiekvieno termino ir jo pirmtako artėja prie auksinio skaičiaus.
Auksinis stačiakampis yra stačiakampis, kurio kraštinės yra aukso pjūviu.
Kas yra auksinis pjūvis?
Apsvarstykite linijos atkarpą, padalytą į dvi dalis: didesnės ilgio The ir mažiausias B. suvokti tai a+b yra viso segmento matas.
aukso pjūvis yra lygybė tarp priežasčių\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) tai yra \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), t.y
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Šiame kontekste mes tai sakome The tai yra B yra aukso pjūviu.
Bet už kokias vertybes The tai yra B ar turime aukso pjūvį? Štai ką mes pamatysime toliau.
Nesustok dabar... Po viešumos dar daugiau ;)
Kaip apskaičiuoti auksinį skaičių?
Priežastis \(\frac{a}b\)(arba taip pat priežastis \(\frac{a+b}a\)) gaunama konstanta, vadinama auksiniu skaičiumi ir pavaizduotas graikiška raide ϕ. Taigi įprasta rašyti
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Norėdami apskaičiuoti auksinį skaičių, apsvarstykite auksinį santykį b = 1. Taigi, mes galime lengvai rasti vertę The ir gaukite ϕ nuo lygybės \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Atkreipkite dėmesį, kad aukso santykį galime užrašyti taip, naudodami kryžminio daugybos savybę:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Pakeitę b = 1, turime
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Taikant Bhaskaros formulę šiai kvadratinei lygčiai darome išvadą, kad teigiamas sprendimas The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Kaip The yra segmento matas, neigiamo sprendimo nepaisysime.
Tai kaip \(\frac{a}b=ϕ\), Tiksli auksinio skaičiaus vertė yra:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Apskaičiavę koeficientą, gauname Apytikslė auksinio skaičiaus vertė:
\(ϕ≈1,618033989\)
Taip pat žiūrėkite: Kaip išspręsti matematikos veiksmus su trupmenomis?
Auksinis santykis ir Fibonačio seka
A Fibonačio seka yra skaičių sąrašas kur kiekvienas narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų pirmtakų sumai. Pažvelkime į pirmuosius dešimt šios sekos terminų:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Kai apskaičiuojame koeficientą tarp kiekvieno termino ir jo pirmtako Fibonačio sekoje, artėjame prie auksinio skaičiaus ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Auksinis pjūvis ir auksinis stačiakampis
Vienas stačiakampis kur ilgiausia pusė The ir mažesnė pusė B yra aukso pjūviu jis vadinamas auksiniu stačiakampiu. Auksinio stačiakampio pavyzdys yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 1 cm ir \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Žinoti daugiau: Kas yra tiesiogiai proporcingi dydžiai?
Auksinio santykio pritaikymai
Atkreipkite dėmesį, kad iki šiol auksinį pjūvį tyrėme tik abstrakčiuose matematiniuose kontekstuose. Toliau pamatysime keletą taikomų pavyzdžių, tačiau reikia atsargumo: aukso pjūvis nėra tiksliai pateiktas nė vienu iš šių atvejų. Egzistuoja įvairių kontekstų analizė, kurioje auksinis skaičius pasirodo taipapytikslis.
Auksinis santykis architektūroje
Kai kuriuose tyrimuose teigiama, kad aukso kiekio įvertinimai stebimi tam tikruose Cheopso piramidės Egipte ir JT būstinės pastato Niujorke matmenų santykiuose.
Aukso santykis žmogaus organizme
Žmogaus kūno matmenys skiriasi nuo vieno žmogaus ir nėra tobulo kūno tipo. Tačiau bent jau nuo Senovės Graikijos buvo diskutuojama apie matematiškai idealų kūną (ir visiškai nepasiekiamą realybėje), kurio matavimai susiję su aukso pjūviu. Šiame teoriniame kontekste, pvz. žmogaus ūgio ir atstumo tarp bambos ir žemės santykis būtų auksinis skaičius.
aukso pjūvis mene
Yra tyrinėjami italo Leonardo da Vinci darbai „Vitruvian Man“ ir „Mona Liza“, kurie rodo, kad auksinių stačiakampių naudojimas.
Aukso pjūvis gamtoje
Yra tyrimų, kurie nurodo a ryšys tarp aukso pjūvio ir tam tikrų augalų lapų pasiskirstymo būdo ant stiebo. Toks lapų išdėstymas vadinamas filotaksija.
Auksinis santykis dizaine
Auksinis pjūvis taip pat tiriamas ir naudojamas dizaino srityje kaip a projekto komponavimo įrankis.
Išsprendė aukso pjūvio pratimus
Klausimas 1
(Enem) Linijos atkarpa yra padalinta į dvi dalis auksiniu pjūviu, kai visuma yra su viena iš dalių tokiu pačiu santykiu, kaip ši dalis yra su kita. Ši proporcingumo konstanta paprastai vaizduojama graikiška raide ϕ, o jos reikšmė pateikiama lygties ϕ2 = ϕ+1 teigiamas sprendimas.
Visai kaip galia \(ϕ^2\), didesnės ϕ galios gali būti išreikštos forma \(aϕ+b\), kur a ir b yra teigiami sveikieji skaičiai, kaip parodyta lentelėje.
potencija \(ϕ^7\), parašyta forma aϕ+b (a ir b yra sveikieji skaičiai), yra
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Rezoliucija
Kaip \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Mes privalome
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Taikant paskirstymą,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Kaip \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatyva.
2 klausimas
Kiekvieną toliau pateiktą teiginį apie auksinį skaičių įvertinkite kaip T (teisinga) arba F (neteisinga).
i. Auksinis skaičius ϕ yra neracionalus.
II. Kiekvieno termino ir jo pirmtako koeficientai Fibonačio sekoje artėja prie ϕ vertės.
III. 1,618 yra auksinio skaičiaus ϕ apvalinimas iki trijų skaičių po kablelio.
Teisinga seka iš viršaus į apačią yra
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Rezoliucija
i. Tiesa.
II. Tiesa.
III. Tiesa.
Alternatyva A.
Šaltiniai
FRANCISCO, S. V. iš L. Tarp susižavėjimo ir aukso pjūvio tikrovės. Disertacija (Matematikos magistro profesinis laipsnis nacionaliniame tinkle) – Biomokslų, raidžių ir tiksliųjų mokslų institutas, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. San Paulas, 2017 m. Galima įsigyti: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PARDAVIMAS, J. iš S. Gamtoje esantis aukso pjūvis. Kursinio darbo baigimas (matematikos laipsnis), Piauí federalinis švietimo, mokslo ir technologijų institutas. Piauí, 2022 m. Galima įsigyti http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas
Supraskite, kas tai yra ir kaip apskaičiuoti vidutinį greitį ir gyventojų tankį.
Sužinokite, kas tai yra ir kaip panaudoti Bhaskaros formulę kvadratinėms lygtims išspręsti!
Supraskite, kas yra tiesiogiai proporcingi dydžiai, ir išmokite išspręsti problemines situacijas, susijusias su tokio tipo santykiais.
Sužinokite čia, kaip nustatyti, ar du dydžiai arba skaičiai yra atvirkščiai proporcingi. Peržiūrėkite pavyzdžius ir pratybas šia tema!
Sužinokite čia, kas yra proporcija ir kaip ją apskaičiuoti. Taip pat žiūrėkite pagrindines jo savybes ir supraskite, kas yra proporciniai dydžiai.
Žr. čia skirtingus santykio vaizdavimo būdus, taip pat žr. apibrėžimą ir kai kuriuos proporcijos pritaikymus. Sužinokite, kaip taikyti šias sąvokas.
Išmokite naudoti sudėtinę trijų taisyklę, kad surastumėte nežinomas reikšmes ir problemas su trimis ar keturiais kiekiais.
Žinokite trijų taisyklę. Suprasti, kas yra tiesioginiai ir atvirkščiai proporcingi dydžiai. Žinokite skirtumą tarp paprastos trijų ir sudėtinės taisyklės.
Skaitmeninės sekos: Fibonačio seka.
