O apotemas Daugiakampis yra atkarpa, kurios galiniai taškai yra daugiakampio centre ir vienos iš kraštinių vidurio taške. Šis segmentas sudaro 90° kampą su atitinkama daugiakampio puse.
Norint apskaičiuoti apotemos matą, būtina atsižvelgti į nagrinėjamo daugiakampio charakteristikas. Atsižvelgiant į geometrinę formą, galima sukurti formulę šiam matavimui gauti. Svarbus pastebėjimas yra tas, kad taisyklingo daugiakampio apotemos matas yra lygus apskritimo spindulio, įrašyto į daugiakampį, matui.
Taip pat skaitykite: Kas yra bisektorius?
Santrauka apie apotemą
Apotemas yra daugiakampio atkarpa, jungianti centrą (statmenų bisektorių susitikimo tašką) su vienos iš kraštinių vidurio tašku.
Kampas tarp apotemos ir atitinkamos daugiakampio kraštinės yra 90°.
Taisyklingo daugiakampio apotemos matas lygus į daugiakampį įrašyto apskritimo spindulio matui.
Kraštinės lygiakraščio trikampio apotema OM l pateikiama pagal formulę
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Kraštinės kvadrato apotema OM l pateikiama pagal formulę
\(OM = \frac{l}2\)
Taisyklingo šešiakampio apotema OM vienoje pusėje l pateikiama pagal formulę
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Piramidės apotema yra atkarpa, jungianti viršūnę su vienos iš pagrindo briaunų vidurio tašku, o jos matą galima gauti pagal Pitagoro teoremą.
Apotemos pavyzdžiai
Norėdami rasti daugiakampio apotemą, turime sukurti linijos atkarpa, jungianti daugiakampio centrą su vienos iš kraštinių vidurio tašku. Atminkite, kad daugiakampio centras yra ta vieta, kur susikerta dvikampiai.
Šiuose pavyzdžiuose apotemas buvo nagrinėjamas plokštumos daugiakampiuose. Tačiau yra kosminis objektas, turintis kitokią apotemą: piramidė.
Piramidėje yra dviejų tipų apotemos: pagrindo apotema, kuri yra daugiakampio, sudarančio piramidės pagrindą, apotema ir piramidės apotema, kuri yra atkarpa, jungianti viršūnę su pagrindo krašto vidurio tašku (tai yra pagrindo šoninio paviršiaus aukštis). piramidė).
Toliau pateiktame kvadratinio pagrindo pavyzdyje atkarpa OM yra pagrindo apotema, o atkarpa VM yra piramidės apotema, o M yra BC vidurio taškas.
Kokios yra apotemo formulės?
Žinodami daugiakampio, ypač taisyklingųjų daugiakampių, charakteristikas, galime sukurti apotemos masto skaičiavimo formules. Pažiūrėkime, kokios yra pagrindinių reguliarių daugiakampių formulės.
Lygiakraščio trikampio apotemos formulė
Prie lygiakraštis trikampis, aukštis ir mediana tam tikros pusės atžvilgiu yra vienodi. Tai reiškia, kad daugiakampio centras sutampa su baricentras trikampio. Taigi, taškas O padalija aukštį AM taip:
\(AO = \frac{2}3 val.\) tai yra \(OM=\frac{1}3:00\)
Atminkite, kad matas lygiakraščio trikampio aukštis l suteikia:
\(Aukštis\ trikampis\ lygiakraštis=\frac{l\sqrt3}2\)
Todėl, kadangi AM yra lygiakraščio trikampio ABC aukštis, o atkarpa OM yra trikampio apotema, galime sukurti tokią OM mato išraišką, atsižvelgiant į tai, kad trikampio kraštinė matuoja l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Kvadratinės formulės apotema
Kalbant apie kvadratą, apotemos matas atitinka pusę šono ilgio. Taigi, jei O yra kvadrato centras, M yra vienos iš kraštinių vidurio taškas ir l yra kvadrato kraštinės ilgis, taigi apotemos OM formulė yra
\(OM=\frac{l}2\)
Įprasta šešiakampio apotemos formulė
Taisyklingajame šešiakampyje apotemas atitinka lygiakraščio trikampio, kurio viršūnės yra dviejuose vienos iš kraštinių galuose ir daugiakampio centre, aukštį. Toliau pateiktame pavyzdyje taisyklingo šešiakampio apotema OM yra lygiakraščio trikampio OCD aukštis, kur M yra CD vidurio taškas.
Kaip minėjome anksčiau, lygiakraščio trikampio aukštis yra žinomas. Taigi, jei taisyklingo šešiakampio pusė matuoja l, tada apotemos OM formulė yra
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Piramidės apotemos formulė
Piramidės apotemos matą galima gauti naudojant Pitagoro teoremos pagalba. Toliau pateiktame pavyzdyje kvadratinėje piramidėje trikampis VOM yra stačiakampis, kurio kojos VO ir OM bei hipotenuzė VM. Atkreipkite dėmesį, kad VO yra piramidės aukštis, OM yra pagrindo apotema, o VM yra piramidės apotema.
Taigi, norėdami nustatyti piramidės apotemos matą, turime taikyti Pitagoro teoremą:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Atsargiai! VM yra lygiašonio trikampio aukštis, o ne lygiakraštis trikampis. Taigi šiuo atveju negalime naudoti lygiakraščio trikampio aukščio formulės.
Kaip apskaičiuojamas apotemas?
Norėdami apskaičiuoti daugiakampio ar piramidės apotemą, galime naudoti sudarytas formules arba susieti apotemą su įbrėžto apskritimo spinduliu.
1 pavyzdys: Tarkime, kad į lygiakraštį trikampį įrašytas 3 cm spindulio apskritimas. Koks šio trikampio apotemos matas?
Kadangi daugiakampio apotemos matas yra toks pat kaip įbrėžto apskritimo spindulys, trikampio apotemos matmenys yra 3 cm.
2 pavyzdys: Koks yra taisyklingo šešiakampio, kurio kraštinė yra 4 cm, apotemos matas?
Naudojant taisyklingo šešiakampio apotemos formulę su \(l=4\) cm, turime
\(Matavimas\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Taip pat skaitykite: Viskas apie svarbius trikampio taškus
Išsprendė apotemos pratimus
Klausimas 1
Jei 4 cm aukščio piramidės pagrindo apotemas yra 3 cm, tada piramidės apotemos matmenys yra
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rezoliucija:
Piramidėje galime sukonstruoti statųjį trikampį, kuriame viena kojelė yra pagrindo apotema, kita kojelė yra piramidės aukštis, o hipotenuzė yra piramidės apotema. Taigi, pritaikius Pitagoro teoremą mato x hipotenusei,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatyva A.
2 klausimas
Jei kvadrato apotema yra y cm, tai kvadrato kraštinė yra
) \(\frac{1}3 m. \) cm
B) \(\frac{1}2 m. \) cm
c) y cm
d) 2 metai cm
e) 3 metai cm
Rezoliucija
Kvadrato apotema yra pusė kvadrato kraštinės ilgio. Todėl, jei apotemos dydis yra y cm, kvadrato dydis yra 2y cm.
Alternatyva D.
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas
