O standartinis nuokrypis yra dispersijos matas, kaip ir dispersija ir variacijos koeficientas. Nustatydami standartinį nuokrypį, galime nustatyti diapazoną aplink aritmetinį vidurkį (padalijimas tarp sąrašo skaičių sumos ir pridėtų skaičių skaičiaus), kur sutelkta dauguma duomenų. Kuo didesnė standartinio nuokrypio reikšmė, tuo didesnis duomenų kintamumas, tai yra, tuo didesnis nuokrypis nuo aritmetinio vidurkio.
Taip pat skaitykite: Mode, vidurkis ir mediana – pagrindiniai centrinių tendencijų matai
Standartinio nuokrypio suvestinė
- Standartinis nuokrypis yra kintamumo matas.
- Standartinio nuokrypio žymėjimas yra mažoji graikiška raidė sigma (σ) arba raidė s.
- Standartinis nuokrypis naudojamas norint patikrinti duomenų kintamumą apie vidurkį.
- Standartinis nuokrypis nustato diapazoną \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), kur yra dauguma duomenų.
- Norėdami apskaičiuoti standartinį nuokrypį, turime rasti dispersijos kvadratinę šaknį:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Kas yra standartinis nuokrypis?
Standartinis nuokrypis yra a Statistikoje priimta sklaidos priemonė. Jo naudojimas yra susijęs su dispersijos interpretacija, kuris taip pat yra sklaidos matas.
Praktiškai standartinis nuokrypis nustato intervalą, kurio centre yra aritmetinis vidurkis, kuriame sutelkta dauguma duomenų. Taigi, kuo didesnė standartinio nuokrypio reikšmė, tuo didesnis duomenų netolygumas (daugiau informacijos nevienalytis), ir kuo mažesnė standartinio nuokrypio reikšmė, tuo mažesnis duomenų netolygumas (daugiau informacijos vienalytis).
Kaip apskaičiuoti standartinį nuokrypį?
Norėdami apskaičiuoti duomenų rinkinio standartinį nuokrypį, turime rasti dispersijos kvadratinę šaknį. Taigi standartinio nuokrypio apskaičiavimo formulė yra
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ltaškai, x_N\) → susiję duomenys.
- μ → duomenų aritmetinis vidurkis.
- N → duomenų kiekis.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\kairė (x_3-\mu\right)^2+...+\left (x_N-\mu\right)^2 \)
Paskutinis elementas, nurodantis radikando skaitiklį, nurodo skirtumo tarp kiekvieno duomenų taško ir aritmetinio vidurkio kvadratų sumą. prašau Pasižymėk tai standartinio nuokrypio matavimo vienetas yra toks pat kaip ir duomenų matavimo vienetas x1,x2,x3,…,xNr.
Nors šios formulės rašymas yra šiek tiek sudėtingas, jos taikymas yra paprastesnis ir tiesioginis. Žemiau pateikiamas pavyzdys, kaip naudoti šią išraišką standartiniam nuokrypiui apskaičiuoti.
- Pavyzdys:
Dvi savaites mieste buvo užfiksuotos šios temperatūros:
Savaitė/diena |
sekmadienis |
Antra |
Trečias |
Ketvirta |
Penkta |
penktadienis |
šeštadienis |
1 savaitė |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
2 savaitė |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
Kurią iš dviejų savaičių temperatūra šiame mieste išliko reguliaresnė?
Rezoliucija:
Norėdami išanalizuoti temperatūrų reguliarumą, turime palyginti 1 ir 2 savaičių temperatūrų standartinius nuokrypius.
- Pirmiausia pažvelkime į 1 savaitės standartinį nuokrypį:
Atkreipkite dėmesį, kad vidutinis μ1 tai yra Nr1 jie yra
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\apytiksliai 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 dienas per savaitę)
Taip pat turime apskaičiuoti skirtumo tarp kiekvienos temperatūros ir vidutinės temperatūros kvadratą.
\(\kairė (29-29,57\dešinė)^2=0,3249\)
\(\kairė (30–29,57\dešinė)^2=0,1849\)
\(\left (31-29,57\right)^2=2,0449\)
\(\kairė (31,5–29,57\dešinė)^2=3,7249\)
\(\left (28-29,57\right)^2=2,4649\)
\(\left (28,5–29,57\right)^2=1,1449\)
\(\kairė (29-29,57\dešinė)^2=0,3249\)
Sudėjus rezultatus gauname, kad radikando skaitiklis standartinio nuokrypio formulėje yra
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Taigi 1 savaitės standartinis nuokrypis yra
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \apytiksliai 1,208\ °C\)
Pastaba: šis rezultatas reiškia, kad didžioji 1 savaitės temperatūros dalis yra intervale [28,36 °C, 30,77 °C], ty intervale \(\left[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\right]\).
- Dabar pažiūrėkime į 2 savaitės standartinį nuokrypį:
Remdamiesi tuo pačiu samprotavimu, turime
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\kairė (28,5–28,5\dešinė)^2=0\)
\(\kairė (27–28,5\dešinė)^2=2,25\)
\(\kairė (28–28,5\dešinė)^2=0,25\)
\(\kairė (29–28,5\dešinė)^2=0,25\)
\(\kairė (30–28,5\dešinė)^2=2,25\)
\(\kairė (28–28,5\dešinė)^2=0,25\)
\(\kairė (29–28,5\dešinė)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Taigi 2 savaitės standartinis nuokrypis yra
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \apytiksliai 0,89\ °C\)
Šis rezultatas reiškia, kad dauguma 2 savaitės temperatūrų yra diapazone \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\), tai yra diapazonas \(\left[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\right]\).
suvokti tai \(\sigma_2, tai yra, 2 savaitės standartinis nuokrypis yra mažesnis nei 1 savaitės standartinis nuokrypis. Todėl 2 savaitė buvo reguliaresnė nei 1 savaitė.
Kokie yra standartinio nuokrypio tipai?
Standartinio nuokrypio tipai yra susiję su duomenų organizavimo tipu. Ankstesniame pavyzdyje dirbome su negrupuotų duomenų standartiniu nuokrypiu. Norėdami apskaičiuoti kitaip organizuotų duomenų (pvz., sugrupuotų duomenų) rinkinio standartinį nuokrypį, turėtumėte pakoreguoti formulę.
Kuo skiriasi standartinis nuokrypis ir dispersija?
standartinis nuokrypis yra kvadratinė šaknis nuo dispersijos:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Naudojant dispersiją duomenų rinkinio kintamumui nustatyti, rezultato duomenų vienetas padalytas kvadratu, o tai apsunkina jo analizę. Taigi standartinis nuokrypis, kurio vienetas yra toks pat kaip ir duomenys, yra galimas įrankis dispersijos rezultatui interpretuoti.
Žinoti daugiau:Absoliutus dažnis – to paties atsakymo kartų renkant duomenis skaičius
Išsprendė pratimus pagal standartinį nuokrypį
Klausimas 1
(FGV) 10 mokinių klasėje mokinių įvertinimai buvo tokie:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Šio sąrašo standartinis nuokrypis yra apytikslis
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Rezoliucija:
Alternatyva C.
Pasak pareiškimo, N = 10. Šio sąrašo vidurkis yra
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Be to,
\(\kairė (6–8\dešinė)^2=4\)
\(\kairė (7–8\dešinė)^2=1\)
\(\kairė (8–8\dešinė)^2=0\)
\(\kairė (9–8\dešinė)^2=1\)
\(\kairė (10–8\dešinė)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Taigi šio sąrašo standartinis nuokrypis yra
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\approx1.1\)
2 klausimas
Apsvarstykite toliau pateiktus teiginius ir įvertinkite kiekvieną iš jų kaip T (teisinga) arba F (klaidinga).
i. Kvadratinė dispersijos šaknis yra standartinis nuokrypis.
II. Standartinis nuokrypis neturi ryšio su aritmetiniu vidurkiu.
III. Sklaida ir standartinis nuokrypis yra dispersijos matų pavyzdžiai.
Teisinga tvarka iš viršaus į apačią yra
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Rezoliucija:
E alternatyva.
i. Kvadratinė dispersijos šaknis yra standartinis nuokrypis. (tiesa)
II. Standartinis nuokrypis neturi ryšio su aritmetiniu vidurkiu. (klaidinga)
Standartinis nuokrypis rodo intervalą aplink aritmetinį vidurkį, į kurį patenka dauguma duomenų.
III. Sklaida ir standartinis nuokrypis yra dispersijos matų pavyzdžiai. (tiesa)
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm