Faktorizavimas daugianariai susideda iš metodų, sukurtų daugianario perrašymui kaip sandauga tarp daugianario. Parašykite daugianarį kaip daugyba tarp dviejų ar daugiau veiksnių padeda supaprastinti algebrines išraiškas ir suprasti daugianarį.
Faktoringo atvejų yra įvairių, ir kiekvienam iš jų yra specifinės technikos.. Esami atvejai: faktoringas pagal bendrą įrodymų faktorių, faktoringas pagal grupavimą, skirtumas tarp dviejų kvadratų, tobulas kvadratinis trinaris, dviejų kubų suma ir dviejų kubų skirtumas.
Skaityti daugiau:Kas yra daugianomas?
Faktoringo daugianario santrauka
Polinomų faktorinavimas yra metodai, naudojami daugianariui kaip sandaugai tarp daugianario pavaizduoti.
Mes naudojame šį faktorių supaprastinimui algebrinės išraiškos.
-
Faktoringo atvejai yra šie:
Faktoringas pagal bendrą įrodymų veiksnį;
Faktoringas pagal grupavimą;
tobulas kvadratinis trinaris;
dviejų kvadratų skirtumas;
dviejų kubų suma;
Dviejų kubelių skirtumas.
Polinominio faktoringo atvejai
Norėdami koeficientuoti daugianarį,
būtina išanalizuoti, kuriame iš faktoringo atvejų tinka situacija, yra: faktoringas pagal bendrą įrodymų koeficientą, faktoringas pagal grupavimą, skirtumas tarp dviejų kvadratų, tobulas kvadratinis trinaris, dviejų kubų suma ir dviejų kubų skirtumas. Pažiūrėkime, kaip atlikti faktorizavimą kiekviename iš jų.Nesustok dabar... Po skelbimo yra daugiau ;)
Bendras įrodymų veiksnys
Šį faktoringo metodą naudojame, kai yra visiems daugianario nariams bendras veiksnys. Šis bendras veiksnys bus paryškintas kaip vienas veiksnys, o kitas veiksnys – rezultatas padalinys terminų pagal tą bendrą veiksnį, bus patalpinti skliausteliuose.
1 pavyzdys:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizuojant kiekvieną šio daugianario narį, galima pastebėti, kad x kartojasi visuose terminuose. Be to, visi koeficientai (20, 12 ir 8) yra 4 kartotiniai, todėl visiems terminams bendras koeficientas yra 4x.
Padalinę kiekvieną terminą iš bendro koeficiento, gauname:
20xy: 4x = 5m
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Dabar parašysime faktorizaciją, bendrą veiksnį įtraukdami į įrodymus ir suma skliausteliuose rastų rezultatų:
4x (5m + 3x + 2y²)
2 pavyzdys:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizuojant pažodinę kiekvieno termino dalį, galima pastebėti, kad a²b kartojasi visuose. Atminkite, kad nėra skaičiaus, kuris tuo pačiu metu dalytų 2, 3 ir – 4. Taigi bendras veiksnys bus tik a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4-oji5b³: a²b = 4a³
Taigi šio daugianario faktorizacija bus tokia:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Taip pat žiūrėkite: Daugiavardžių sudėtis, atimtis ir daugyba – supraskite, kaip tai daroma
grupavimas
Šis metodas yra naudojamas, kai nėra bendro koeficiento visiems daugianario nariams. Tokiu atveju nustatome terminus, kuriuos galima sugrupuoti turint bendrą veiksnį ir juos paryškiname.
Pavyzdys:
Padalinkite šį daugianarį:
ax + 4b + bx + 4a
Sugrupuosime terminus, kurių bendras veiksnys yra a ir b:
ax + 4a + bx + 4b
Pateikę a ir b įrodymus du kartus, gauname:
a(x+4)+b(x+4)
Atkreipkite dėmesį, kad skliausteliuose veiksniai yra tokie patys, todėl galime perrašyti šį daugianarį taip:
(a + b) (x + 4)
tobulas kvadratinis trinaris
Trinariai yra daugianariai, turintys 3 narius. Polinomas žinomas kaip tobulas kvadratinis trinaris, kai jis yra sumos kvadratu arba skirtumo kvadratu rezultatas, tai yra:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Svarbu: Ne kiekvieną kartą, kai yra trys nariai, šis daugianaris bus tobulas kvadratinis trinaris. Todėl prieš atliekant faktorizavimą reikia patikrinti, ar trinaris tinka šiuo atveju.
Pavyzdys:
Jei įmanoma, daugianario koeficientas
x² + 10x + 25
Išanalizavę šį trinarį, išskirsime kvadratinė šaknis pirmas ir paskutinis terminas:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Svarbu patikrinti, ar centrinis narys, ty 10x, yra lygus \(2\cdot\x\cdot5\). Atkreipkite dėmesį, kad tai tikrai tas pats. Taigi tai puikus kvadratinis trinaris, kurį galima apskaičiuoti iš:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
dviejų kvadratų skirtumas
Kai turime dviejų kvadratų skirtumą, galime įskaičiuoti šį daugianarį, perrašydami jį kaip sumos ir skirtumo sandaugą.
Pavyzdys:
Dauginamo koeficientas:
4x² – 36m²
Pirmiausia apskaičiuosime kiekvienos jos sąlygos kvadratinę šaknį:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6m\)
Dabar šį daugianarį perrašysime kaip rastų šaknų sumos ir skirtumo sandaugą:
4x² – 36m² = (2x + 6m) (2x – 6m)
Taip pat skaitykite: Algebrinis skaičiavimas naudojant monomiją – sužinokite, kaip vyksta keturios operacijos
dviejų kubų suma
Dviejų kubų suma, ty a³ + b³, gali būti vertinamas kaip:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Pavyzdys:
Dauginamo koeficientas:
x³ + 8
Žinome, kad 8 = 2³, taigi:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Dviejų kubelių skirtumas
Dviejų kubų skirtumas, ty a³ – b³, Skirtingai nuo dviejų kubų sumos, galima apskaičiuoti kaip:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Pavyzdys:
Išskaidykite daugianarį
8x³ - 27
Mes tai žinome:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Taigi mes turime:
\(8x^3-27=\kairė (2x-3\dešinė)\)
\(8x^3-27=\kairė (2x-3\dešinė)\kairė (4x^2+6x+9\dešinė)\)
Sprendžiami faktoringo daugianario pratimai
Klausimas 1
Polinominio faktorizavimo naudojimas algebrinei išraiškai supaprastinti \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), rasime:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rezoliucija:
Alternatyva D
Žvelgdami į skaitiklį matome, kad x² + 4x + 4 yra tobulo kvadratinio trinalio atvejis ir gali būti perrašytas taip:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Skaitiklis x² – 4 yra dviejų kvadratų skirtumas ir gali būti perrašytas taip:
x² – 4 = (x + 2) (x – 2)
Todėl:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Atkreipkite dėmesį, kad terminas x + 2 yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje, todėl jo supaprastinimas pateikiamas taip:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
2 klausimas
(Unifil Institute) Atsižvelgiant į tai, kad du skaičiai x ir y yra tokie, kad x + y = 9 ir x² – y² = 27, x reikšmė yra lygi:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rezoliucija:
Alternatyva C
Atkreipkite dėmesį, kad x² – y² yra skirtumas tarp dviejų kvadratų ir gali būti vertinamas kaip sumos ir skirtumo sandauga:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Žinome, kad x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x – y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Tada galime nustatyti a lygčių sistema:
Pridedant dvi eilutes:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Raulis Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytojas
