Trigonometriniai santykiai: sinusas, kosinusas ir liestinė yra santykiai tarp stačiojo trikampio kraštinių. Naudojant šiuos santykius galima nustatyti nežinomas kampų ir šoninių matavimų vertes.
Praktikuokite savo žinias spręsdami problemas.
klausimai apie sinusą
Klausimas 1
yra kampas lygus 30°, o hipotenuzė 47 m, apskaičiuokite aukščio matavimą The trikampio.
Trigonometrinis sinuso santykis yra priešingos kampo pusės ir hipotenuzės santykis.
Izoliuojantis The iš vienos pusės lygybės, mes turime:
Iš trigonometrinės lentelės gauname, kad 30° sinusas yra lygus , pakeičiant lygtį:
Todėl trikampio aukštis yra 23,50 m.
2 klausimas
Viršutiniame parko vaizde rodomi du keliai iš taško A patekti į tašką C. Vienas iš variantų – eiti į B, kur yra gėrimų fontanai ir poilsio vietos, o tada – į C. Jei parko lankytojas nori eiti tiesiai į C, kiek metrų jis bus nuėjęs mažiau nei pirmasis variantas?
Apsvarstykite apytikslius duomenis:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
įdegis 58° = 1,60
Atsakymas: paliekant A ir einant tiesiai į C, ėjimas trumpesnis 7,54 m.
1 veiksmas: apskaičiuokite atstumą.
2 veiksmas: nustatykite atstumą.
3 veiksmas: nustatykite atstumą .
4 veiksmas: nustatykite skirtumą tarp dviejų kelių.
3 klausimas
Buvo įrengtas lynų keltuvas, jungiantis bazę su kalno viršūne. Montavimui panaudota 1358 m kabelių, išdėstytų 30° kampu žemės atžvilgiu. Kokio aukščio yra kalnas?
Teisingas atsakymas: kalno aukštis 679 m.
Norėdami nustatyti kalno aukštį, galime naudoti sinusinį trigonometrinį santykį.
Iš trigonometrinės lentelės turime sin 30° = 0,5. Kadangi sinusas yra santykis tarp priešingos pusės ir hipotenuzės, mes nustatome aukštį.
4 klausimas
(CBM-SC, kareivis-2010) Padėti žmogui bute gaisro metu, ugniagesiai naudos 30 m kopėčias, kurios bus išdėstytos taip, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau, sudarydamos kampą su žeme iš 60-osios. Kokiu atstumu yra butas nuo grindų? (Naudokite sen60º=0,87; cos60º=0,5 ir tg60º= 1,73)
a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Teisingas atsakymas: b) 26,1 m.
Norėdami nustatyti aukštį, naudosime 60° sinusą. Iškviečiant aukštį h ir naudojant 60° sinusą, lygų 0,87.
Klausimai apie kosinusą
5 klausimas
Kosinusas yra santykis tarp kraštinės, esančios šalia kampo, ir hipotenuzės matavimo. Esamas lygus 45°, apskaičiuokite figūros trikampyje esančios kojos, esančios greta kampo alfa, matą.
apsvarstyti
Apytikslė 2 kvadratinės šaknies reikšmė:
Gretimos kojos matmuo yra maždaug 19,74 m.
6 klausimas
Futbolo rungtynių metu 1 žaidėjas meta į 2 žaidėją 48° kampu. Kiek toli turi nukeliauti kamuolys, kad pasiektų 2 žaidėją?
Apsvarstykite:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
įdegis 48° = 1,11
Teisingas atsakymas: Kamuolys turi nuvažiuoti 54,54 m atstumą.
Matavimas tarp 1 ir 2 žaidėjo yra stačiojo trikampio hipotenuzė.
48° kampo kosinusas yra jo gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis, kur gretimoji pusė yra atstumas tarp vidurio lauko ir didelio ploto.
52,5 - 16,5 = 36 m
Apskaičiuojant kosinusą, kur h yra hipotenuzė.
7 klausimas
Stogas laikomas dvišlaičiu, kai yra du šlaitai. Viename darbe statomas stogas, kur dviejų jo vandenų susitikimas yra tiksliai plokštės viduryje. Kiekvieno vandens pasvirimo kampas plokštės atžvilgiu yra 30°. Plokštės ilgis 24 m. Norint užsisakyti čerpes dar nebaigus stogą laikančios konstrukcijos, būtina žinoti kiekvieno vandens ilgį, kuris bus:
Kadangi plokštė yra 24 m ilgio, kiekvienas vanduo bus po 12 m.
Vadindami kiekvieno stogo vandens ilgį L, turime:
Trupmenos racionalizavimas, norint gauti neracionalųjį skaičių vardiklio.
Gaminimas,
Todėl kiekvieno stogo vandens ilgis bus maždaug 13,6 m.
8 klausimas
Tangentas yra santykis tarp kampui priešingos pusės ir gretimos kraštinės. yra kampas lygus 60°, apskaičiuokite trikampio aukštį.
Liečiami klausimai
9 klausimas
Žmogus nori žinoti upės plotį prieš ją kirsdamas. Tam jis nustato atskaitos tašką kitame krašte, pavyzdžiui, medyje (taškas C). Padėtyje, kurioje esate (taškas B), eikite 10 metrų į kairę, kol tarp taško A ir taško C susidarys 30° kampas. Apskaičiuokite upės plotį.
apsvarstyti .
Norėdami apskaičiuoti upės plotį, kurį vadinsime L, naudosime kampo liestinę .
10 klausimas
(Enem 2020) Pergolado yra architektų suprojektuoto tipo stogo pavadinimas, dažniausiai aikštėse ir
sodai, sukurti žmonėms ar augalams aplinką, kurioje sumažėja šviesos kiekis,
priklausomai nuo saulės padėties. Jis pagamintas kaip lygiagrečių ir idealiai išdėstytų sijų padėklas
iš eilės, kaip parodyta paveikslėlyje.
Architektas suprojektuoja pavėsinę su 30 cm tarpais tarp sijų, kad
vasaros saulėgrįža, saulės trajektorija dienos metu vykdoma plokštumoje, statmenoje krypčiai
sijos ir kad popietės saulė, kai jos spinduliai sudaro 30° su kaiščio padėtimi, sukuria pusę
šviesos, kuri vidurdienį praeina pavėsinėje.
Kad atitiktų architekto parengtą projektinį pasiūlymą, pavėsinės sijos turi būti
sukonstruotas taip, kad aukštis centimetrais būtų kuo arčiau
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Teisingas atsakymas: c) 26.
Norėdami suprasti situaciją, padarykite kontūrą.
Kairėje esančiame paveikslėlyje parodytas saulės šviesos dažnis vidurdienį, 100%. Mus domina vaizdas kairėje. Jis leidžia tik 50% saulės spindulių prasiskverbti per pavėsinę 30% nuolydžiu.
Mes naudojame tangentinį trigonometrinį santykį. Kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.
Vadinant pavėsinės dalies aukštį h, gauname:
Padaryti liestinę 30° =
Paskutinę trupmeną racionalizuosime taip, kad vardiklyje nepaliktume trijų šaknies – neracionalaus skaičiaus.
Gaminimas,
Iš galimų klausimo variantų artimiausia yra raidė c, sijų aukštis turi būti maždaug 26 cm.
11 klausimas
(Enem 2010) Atmosferos balionas, paleistas Bauru (343 km į šiaurės vakarus nuo San Paulo) naktį Praėjusį sekmadienį jis nukrito šį pirmadienį Kujaba Paulistoje, Presidente Prudente regione, gąsdinimas
regiono ūkininkai. Artefaktas yra Hibiscus projekto programos dalis, kurią sukūrė Brazilija, Prancūzija,
Argentinoje, Anglijoje ir Italijoje, išmatuoti ozono sluoksnio elgesį ir jo nusileidimą
atitikus numatomą matavimo laiką.
Įvykio dieną balioną matė du žmonės. Vienas buvo 1,8 km atstumu nuo baliono vertikalios padėties
ir pamačiau jį 60° kampu; kitas buvo 5,5 km atstumu nuo baliono vertikalios padėties, sulygiuotas su
pirma, ir ta pačia kryptimi, kaip matyti paveikslėlyje, ir pamačiau jį 30° kampu.
Koks apytikslis baliono aukštis?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Teisingas atsakymas: c) 3,1 km
Mes naudojame 60° liestinę, kuri yra lygi . Liestinė yra trigonometrinis santykis tarp priešingos kampo pusės ir gretimos.
Todėl oro baliono aukštis buvo maždaug 3,1 km.
