Vektoriai: kas tai yra, operacijos, programos ir pratimai

Vektorius yra vaizdavimas, kuris nustato vektoriaus dydžio dydį, kryptį ir kryptį. Vektoriai yra tiesūs segmentai, nukreipti rodykle viename gale.

Vektorius pavadiname raide ir maža rodykle.

Vektoriai apibūdina vektorinius dydžius, kurie yra dydžiai, kuriems reikia orientacijos, ty krypties ir krypties. Kai kurie pavyzdžiai: jėga, greitis, pagreitis ir poslinkis. Skaitinės reikšmės neužtenka, reikia aprašyti, kur šie dydžiai veikia.

vektoriaus modulis

Vektoriaus modulis arba intensyvumas yra jo skaitinė vertė, po kurios nurodomas jo atstovaujamo dydžio matavimo vienetas, pavyzdžiui:

Vektorius, nurodantis ilgio dydį, su dviejų metrų moduliu.

Modulį nurodome tarp juostų, išlaikant rodyklę arba, tik raidę, be juostų ir be rodyklės.

Vektoriaus ilgis yra proporcingas moduliui. Didesnis vektorius reiškia didesnį modulį.

vektoriaus modulis yra 4 vienetai, o vektorius yra 2 vienetai.

Vektoriaus kryptis

Vektoriaus kryptis yra atramos linijos, ant kurios jis nustatytas, nuolydis. Kiekvienam vektoriui yra tik viena kryptis.

Vertikalios, horizontalios ir įstriosios (pasvirusios) vektorių kryptys.

vektoriaus pojūtis

Vektoriaus kryptis rodoma rodykle. Toje pačioje kryptyje gali būti dvi kryptys, pvz., aukštyn arba žemyn ir kairėn arba dešinėn.

Vektoriai ta pačia kryptimi, horizontaliai ir priešingomis kryptimis.

Priimant kryptį kaip teigiamą, priešinga kryptis, neigiama, vaizduojama minuso ženklu prieš vektoriaus simbolį.

Gautas vektorius

Gautas vektorius yra vektorinių operacijų rezultatas ir yra lygiavertis vektorių rinkiniui. Patogu žinoti vektorių, kuris atspindi daugiau nei vieno vektoriaus sukeltą efektą.

Pavyzdžiui, kūnas gali būti veikiamas tam tikrų jėgų, ir mes norime žinoti, kokį rezultatą jos duos kartu su šiuo kūnu. Kiekviena jėga pavaizduota vektoriumi, bet rezultatas gali būti pavaizduotas tik vienu vektoriumi: gautu vektoriumi.

Gautas vektorius, , horizontalios krypties ir krypties į dešinę, yra vektorių pridėjimo ir atėmimo rezultatas. , , ir . Gautas vektorius rodo kūno tendenciją judėti šia kryptimi.

Vertikalios krypties vektoriai yra vienodo dydžio, tai yra, tas pats modulis. Kadangi jie turi priešingą reikšmę, jie panaikina vienas kitą. Tai rodo, kad dėžė nejudės vertikalia kryptimi.

Analizuojant vektorius ir , kurių kryptis ta pati ir priešingos, suprantame, kad dalis jėgos „lieka“ dešinėje, kaip vektorius yra didesnis nei , tai yra, modulis tai didesnis.

Norėdami nustatyti gautą vektorių, atliekame vektorių sudėties ir atėmimo operacijas.

Tos pačios krypties vektorių sudėjimas ir atėmimas

Su vienodi pojūčiai, pridedame modulius ir išlaikome kryptį ir kryptį.

Pavyzdys:

Grafiškai išdėstome vektorius iš eilės, nekeisdami jų modulių. Vieno pradžia turi sutapti su kito pabaiga.

Komutacinė sudėties savybė galioja, nes tvarka rezultato nekeičia.

Su priešingi pojūčiai, atimame modulius ir išlaikome kryptį. Gauto vektoriaus kryptis yra didžiausio modulio vektoriaus kryptis.

Pavyzdys:

vektorius yra likusi dalis , atsiėmus .

Vieno vektoriaus atėmimas prilygsta pridėjimui su kito priešingumu.

Statmenų vektorių sudėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti du vektorius su statmenomis kryptimis, perkeliame vektorius nekeisdami jų modulio, kad vieno pradžia sutaptų su kito pabaiga.

Gautas vektorius susieja pirmojo pradžią su antrojo pabaiga.

Norėdami nustatyti gauto vektoriaus dydį tarp dviejų statmenų vektorių, suderiname dviejų vektorių pradžią.

Gauto vektoriaus modulis nustatomas pagal Pitagoro teoremą.

Pasvirųjų vektorių sudėjimas ir atėmimas

Du vektoriai yra įstrižai, kai sudaro kampą tarp savo krypčių, kurios skiriasi nuo 0°, 90° ir 180°. Norėdami pridėti arba atimti įstrižuosius vektorius, naudojami lygiagretainio ir daugiakampio linijos metodai.

lygiagretainio metodas

Norėdami atlikti lygiagretainio tarp dviejų vektorių metodą arba taisyklę ir nubrėžti gautą vektorių, atliekame šiuos veiksmus:

Pirmas žingsnis yra nustatyti jų pradžią tame pačiame taške ir nubrėžti lygiagrečias vektoriams linijas, kad būtų sudarytas lygiagretainis.

Antrasis yra lygiagretainio įstrižainės vektoriaus nubrėžimas tarp vektorių jungties ir lygiagrečių tiesių jungties.

Taškinės linijos yra lygiagrečios vektoriams, o suformuota geometrinė figūra yra lygiagretainis.

Gautas vektorius yra tiesė, jungianti vektorių pradžią su paralelėmis.

O gauto vektoriaus modulis gaunamas kosinuso įstatymu.

Kur:

R yra gauto vektoriaus dydis;
a yra vektorinis modulis ;
b yra vektoriaus modulis ;
yra kampas, susidaręs tarp vektorių krypčių.

Lygiagretainio metodas naudojamas vektorių porai pridėti. Jei norite pridėti daugiau nei du vektorius, turite juos pridėti po du. Prie vektoriaus, gauto iš pirmųjų dviejų sumos, pridedame trečiąjį ir pan.

Kitas būdas pridėti daugiau nei du vektorius yra naudoti daugiakampio linijos metodą.

daugiakampės linijos metodas

Daugiakampės linijos metodas naudojamas vektoriui, gautam sudėjus vektorius, rasti. Šis metodas ypač naudingas pridedant daugiau nei du vektorius, pvz., šiuos vektorius , , ir .

Norėdami naudoti šį metodą, turime išdėstyti vektorius taip, kad vieno (rodyklės) pabaiga sutaptų su kito pradžia. Svarbu išsaugoti modulį, kryptį ir kryptį.

Išdėstę visus vektorius daugiakampės linijos pavidalu, turime atsekti gautą vektorių, kuris eina nuo pirmojo pradžios iki paskutinio pabaigos.

Svarbu, kad gautas vektorius uždarytų daugiakampį, jo rodyklė sutaptų su paskutinio vektoriaus rodykle.

Komutacinė savybė galioja, nes tvarka, kuria išdėstome diagramos vektorius, nekeičia gauto vektoriaus.

vektoriaus skaidymas

Išskaidyti vektorių reiškia parašyti komponentus, kurie sudaro šį vektorių. Šie komponentai yra kiti vektoriai.

Kiekvienas vektorius gali būti parašytas kaip kitų vektorių kompozicija, naudojant vektorių sumą. Kitaip tariant, vektorių galime užrašyti kaip dviejų vektorių, kuriuos vadiname komponentais, sumą.

Naudodami Dekarto koordinačių sistemą, su statmenomis x ir y ašimis, nustatome vektoriaus komponentus.

vektorius yra vektorių sumos tarp komponentų vektorių rezultatas. ir .

vektorius pakreipti sudaro statųjį trikampį su x ašimi. Taigi, naudodami trigonometriją, nustatome komponentų vektorių modulius.

Komponento modulio ax.

Komponentinis modulis ay.

vektoriaus modulis gautas iš Pitagoro teoremos.

Pavyzdys
Jėga atliekama traukiant bloką nuo žemės. 50 N modulio jėga pakreipiama 30° nuo horizontalės. Nustatykite šios jėgos horizontalius ir vertikalius komponentus.

Duomenys:

Realiojo skaičiaus padauginimas iš vektoriaus

Realųjį skaičių padauginus iš vektoriaus, gaunamas naujas vektorius, turintis šias charakteristikas:

• Ta pati kryptis, jei tikrasis skaičius nėra nulis;
• Ta pačia kryptimi, jei tikrasis skaičius yra teigiamas, ir priešinga kryptimi, jei jis yra neigiamas;
• Modulis bus tikrojo skaičiaus modulio ir padauginto vektoriaus modulio sandauga.

Produktas tarp tikrojo skaičiaus ir vektoriaus

Kur:
yra daugybos rezultatas;
yra tikrasis skaičius;
yra vektorius dauginamas.

Pavyzdys
Tegul tikrasis skaičius n = 3 ir vektorius 2 modulio sandauga tarp jų yra lygi:

Modulio skaičiavimas

Kryptis ir kryptis bus ta pati.

1 pratimas

(Enem 2011) Trinties jėga yra jėga, kuri priklauso nuo kūnų sąlyčio. Ją galima apibrėžti kaip priešingą kūnų poslinkio polinkiui jėgą ir susidaro dėl nelygumų tarp dviejų besiliečiančių paviršių. Paveikslėlyje rodyklės žymi jėgas, veikiančias kūną, o padidintas taškas – nelygumus, esančius tarp dviejų paviršių.

Paveiksle vektoriai, vaizduojantys jėgas, sukeliančias poslinkį ir trintį, yra atitinkamai:

)

B)

ç)

d)

ir)

Žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: raidė a)

Rodyklės žymi jėgų, veikiančių judėjimą horizontalia kryptimi, vektorius, būdamos veiksmo ir reakcijos pora, jos turi priešingas kryptis.

Vertikalios rodyklės rodo svorio jėgos ir įprastos jėgos veiksmus ir, kadangi jos yra lygios, jos panaikina viena kitą, nejudant vertikalia kryptimi.

2 pratimas

(UEFS 2011) Paveikslėlyje pateiktoje vektorinėje diagramoje nurodytos jėgos, kurias dvi guminės juostos veikia ortodontiškai gydomo asmens dantį.

Darant prielaidą, kad F = 10,0N, sen45° = 0,7 ir cos45° = 0,7, jėgos, kurią tamprės veikia dantį, intensyvumas N yra lygus

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: c) 2√85

Jėgos, veikiančios dantį, intensyvumas gaunamas pagal kosinuso dėsnį.

a ir b yra lygūs 10 N.

Kvadratinės šaknies koeficientas suteikia mums:

Todėl guminių juostų ant danties veikiančios jėgos intensyvumas yra .

3 pratimas

(PUC RJ 2016) Paveiksle pateiktos jėgos F1, F2, F3 ir F4 sudaro stačius kampus vienas kito atžvilgiu, o jų moduliai yra atitinkamai 1 N, 2 N, 3 N ir 4 N.

Apskaičiuokite grynosios jėgos modulį N.

a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: d) 2√ 2

Gautam vektoriui nustatyti naudojame daugiakampės linijos metodą. Norėdami tai padaryti, perskirstome vektorius taip, kad vieno pabaiga sutaptų su kito pradžia, taip:

Naudodami koordinačių sistemą, kurios kilmė yra gauto vektoriaus pradžioje, galime nustatyti jos komponentų modulius taip:

Taigi, mes turime:

Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N

Gauto vektoriaus dydis nustatomas pagal Pitagoro teoremą.

Todėl grynosios jėgos modulis yra lygus .

išmokti daugiau apie

• Vektoriai: sudėjimas, atimtis ir skaidymas.
• Vektorių kiekiai

✖