An daugianario lygtis pasižymi tuo, kad turi a daugianario lygus nuliui. Jį galima apibūdinti daugianario laipsniu ir kuo šis laipsnis didesnis, tuo sunkiau rasti jo sprendimą arba šaknį.
Šiame kontekste taip pat svarbu suprasti, kas yra pagrindinė algebros teorema, kuri tai teigia kiekviena daugianario lygtis turi bent vieną kompleksinį sprendimą, kitaip tariant: pirmojo laipsnio lygtis turės bent vieną sprendinį, antrojo laipsnio lygtis turės bent du sprendinius ir pan.
Taip pat skaitykite: Kokios yra daugianario klasės?
Kas yra polinominė lygtis
Polinomo lygtis apibūdinama tuo, kad polinomas lygus nuliui, taigi, kiekviena P(x) = 0 tipo išraiška yra daugianario lygtis, kur P(x) yra daugianario. Žemiau pateikiamas bendras daugianario lygties atvejis ir keli pavyzdžiai.
Apsvarstykitene, an -1, a n -2,…,1, a0 ir x realūs skaičiai, o n yra teigiamas sveikasis skaičius, ši išraiška yra n laipsnio daugianario lygtis.
- Pavyzdys
Šios lygtys yra daugianariai.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Kaip ir daugianariai, daugianario lygtys turi savo laipsnį. Norėdami nustatyti daugianario lygties laipsnį, tiesiog suraskite didžiausią laipsnį, kurio koeficientas skiriasi nuo nulio. Todėl ankstesnių punktų lygtys yra atitinkamai:
a) Lygtis yra iš ketvirtas laipsnis:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Lygtis yra iš vidurinė mokykla:5x2 – 3 = 0.
c) lygtis yra iš Pirmas laipsnis:6x – 1 = 0.
d) lygtis yra iš trečias laipsnis: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Kaip išspręsti daugianario lygtį?
Polinominės lygties sprendimo būdas priklauso nuo jos laipsnio. Kuo didesnis lygties laipsnis, tuo sunkiau ją išspręsti. Šiame straipsnyje parodysime polinominių lygčių sprendimo būdą pirmojo laipsnio, antrojo laipsnio ir bisquare.
Pirmojo laipsnio polinominė lygtis
Pirmojo laipsnio daugianario lygtį apibūdina a 1 laipsnio daugianario. Taigi pirmojo laipsnio lygtį galime parašyti taip.
Apsvarstykite du tikrus skaičius The ir B kai ≠ 0, ši išraiška yra pirmojo laipsnio daugianario lygtis:
ax + b = 0
Norėdami išspręsti šią lygtį, turime naudoti lygiavertiškumo principas, tai yra, viskas, kas veikia vienoje lygybės pusėje, turi būti veikiama ir kitoje pusėje. Norėdami nustatyti pirmojo laipsnio lygties sprendimą, turime izoliuoti nežinomybę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia reikia pašalinti B kairėje lygybės pusėje, o tada atimtiirklai b abiejose lygybės pusėse.
kirvis + b – B = 0 – B
kirvis = - b
Atkreipkite dėmesį, kad nežinomo x reikšmė nėra izoliuota, koeficientą a reikia eliminuoti iš kairės lygybės pusės ir tam padalinkime abi puses iš The.
- Pavyzdys
Išspręskite lygtį 5x + 25 = 0.
Norėdami išspręsti problemą, turime naudoti lygiavertiškumo principą. Siekdami palengvinti procesą, operacijos rašymą praleisime kairėje lygybės pusėje, lygiavertis tada pasakyti, kad mes ketiname "perduoti" skaičių į kitą pusę, pakeisdami ženklą (atvirkštinis veiksmas).
Sužinokite daugiau apie šio tipo lygčių sprendimą pasiekę mūsų tekstą: Pirmojo laipsnio lygtis su nežinomuoju.
Antrojo laipsnio polinominė lygtis
Antrojo laipsnio daugianario lygtis turi a charakteristiką antrojo laipsnio daugianario. Taigi apsvarstykite realiuosius skaičius a, b ir c, kurių a ≠ 0. Antrojo laipsnio lygtis pateikiama taip:
kirvis2 + bx + c = 0
Jūsų sprendimas gali būti nustatytas naudojant metodą bhaskara arba faktoringo būdu. Jei norite sužinoti daugiau apie tokio tipo lygtis, skaitykite: Lygveiksmas santra grau.
→ Bhaskara metodas
Naudojant Bhaskaros metodą, jo šaknys pateikiamos pagal šią formulę:
- Pavyzdys
Raskite lygties x sprendinį2 – 3x + 2 = 0.
Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientai yra atitinkamai a = 1, b = – 3 ir c = 2. Pakeisdami šias reikšmes formulėje, turime:
→ Faktorizavimas
Pažiūrėkite, ar galima faktoriuoti išraišką x2 – 3x + 2 = 0 naudojant idėją daugianario faktorizacija.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Atkreipkite dėmesį, kad sandauga lygi nuliui, o produktas lygus nuliui tik tada, kai vienas iš veiksnių lygus nuliui, todėl turime:
x – 2 = 0
x = 2
arba
x - 1 = 0
x = 1
Pamatykite, kad lygties sprendimą radome naudodami du skirtingus metodus.
dviejų kvadratų lygtis
THE bikvadratinė lygtis tai yra konkretus ketvirtojo laipsnio daugianario lygties atvejis, paprastai ketvirtojo laipsnio lygtis būtų parašyta tokia forma:
kirvis4 + bx3 + dėžė2 + dx + e = 0
kur skaičiai a B C D ir ir yra tikros su ≠ 0. Ketvirtojo laipsnio lygtis laikoma bikvadratine, kai koeficientai b = d = 0, tai yra, lygtis yra tokios formos:
kirvis4 + dėžė2 + ir = 0
Žiūrėkite toliau pateiktame pavyzdyje, kaip išspręsti šią lygtį.
- Pavyzdys
Išspręskite x lygtį4 – 10 kartų2 + 9 = 0.
Norėdami išspręsti lygtį, naudosime šį nežinomą pakeitimą ir kiekvieną kartą, kai lygtis yra dvikvadratinė, tą pakeitimą atliksime.
x2 =p
Iš dviejų kvadratų lygties atkreipkite dėmesį, kad x4 = (x2)2 ir todėl turime:
x4 – 10 kartų2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
dėl2 – 10p + 9 = 0
Pažiūrėkite, kad dabar turime antrojo laipsnio daugianario lygtį ir galime naudoti Bhaskaros metodą, pavyzdžiui:
Tačiau turime atsiminti, kad pratimo pradžioje buvo atliktas nežinomas pakeitimas, todėl turime taikyti pakeitime rastą reikšmę.
x2 =p
Jei p = 9, turime tai:
x2 = 9
x' = 3
arba
x'' = – 3
Jei p = 1
x2 = 1
x' = 1
arba
x'' = – 1
Todėl bisquare lygties sprendinių rinkinys yra:
S = {3, –3, 1, –1}
Taip pat skaitykite: Briot-Ruffini praktinis prietaisas – daugianario padalijimas
Pagrindinė algebros teorema (TFA)
Pagrindinė algebros (TFA) teorema, kurią 1799 m. įrodė Gaussas, teigia, kad kiekviena toliau nurodyta daugianario lygtis turi bent vieną sudėtingą šaknį.
Polinominės lygties šaknis yra jos sprendimas, tai yra, nežinoma reikšmė yra tai, dėl ko lygybė yra teisinga. Pavyzdžiui, pirmojo laipsnio lygtis turi jau nustatytą šaknį, kaip ir antrojo laipsnio lygtį, kuri turi bent dvi šaknis, ir bisquare, kuri turi mažiausiai keturias šaknis.
išspręsti pratimai
Klausimas 1 – Nustatykite x reikšmę, kuri padaro lygybę teisinga.
2x – 8 = 3x + 7
Rezoliucija
Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti lygtį, būtina ją sutvarkyti, tai yra palikti visus nežinomus kairėje lygybės pusėje.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Ekvivalentiškumo principu galime abi lygybės puses padauginti iš to paties skaičiaus, o kadangi norime rasti x reikšmę, abi puses padauginsime iš –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
2 klausimas – Marcosas turi 20 R$ daugiau nei João. Kartu jiems pavyksta nusipirkti dvi poras sportbačių, kurių kiekviena kainuoja 80 R$ ir pinigų nelieka. Kiek realų turi Jonas?
Rezoliucija
Tarkime, kad Markas turi x realų, kaip Jonas turi 20 realų daugiau, taigi jis turi x + 20.
Ženklai → x realiai
João → (x + 20) realus
kaip jie pirko dvi poras sportbaciu kurių kiekvienas kainuoja po 80 realų, taigi, jei sujungsime kiekvienos dalis, turėsime:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160–20
2x = 140
Todėl Markas turėjo 70 realų, o João – 90 realų.
pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
