O Paskalio trikampis tai gana senas matematikos įrankis. Per visą istoriją jis gavo keletą pavadinimų, tačiau šiandien yra labiausiai priimtas aritmetinis trikampis ir Paskalio trikampis. Antrasis vardas yra duoklė matematikui, kuris kelis kartus prisidėjo prie šio trikampio tyrimo. reiškia, kad trikampį sugalvojo jis, bet jis buvo tas, kuris giliau tai ištyrė įrankis.
Iš Paskalio trikampio savybių galima jį logiškai sukonstruoti. Taip pat išsiskiria jūsų santykiai su deriniai studijavo kombinatorinėje analizėje. Paskalio trikampio sąlygos taip pat atitinka binominius koeficientus, todėl jis yra labai naudingas skaičiuojant bet kurį Niutono binomį.
Taip pat skaitykite: Briot-Ruffini prietaisas – daugianario padalijimo metodas
Paskalio trikampio konstrukcija
Paskalio trikampis gaunamas iš derinių rezultato, tačiau yra praktinis metodas, kuris palengvina jo kūrimo būdą. Pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis skaičiuojami kaip nulis eilutės ir stulpelio nulis. Galime naudoti tiek eilučių, kiek reikia
Šioje konstrukcijoje trikampis gali turėti begalines linijas. Eilučių tobulinimo motyvai visada yra vienodi. Žiūrėk:
Mes tai žinome trikampio terminai yra deriniai, studijavo m kombinatorinė analizė. Norėdami pakeisti Paskalio trikampį skaitinėmis reikšmėmis, žinome, kad skaičiaus su nuliu ir skaičiaus su savimi deriniai visada yra lygūs 1. Todėl pirmoji ir paskutinė reikšmės visada yra 1.
Norėdami rasti kitus, pradedame nuo 2 eilutės, nes 0 ir 1 eilutės jau baigtos. 2 eilutėje, norėdami rasti kombinaciją nuo 2 iki 1, aukščiau esančioje eilutėje, ty 1 eilutėje, pridėkite terminą virš jo tame pačiame stulpelyje ir terminą virš jo ankstesniame stulpelyje, kaip parodyta paveikslėlyje :
Pastačius 2 liniją, galima statyti 3 liniją, atliekant tą pačią procedūrą.
Tęsdami šią procedūrą rasime visus terminus – šiuo atveju iki 5 eilutės – tačiau galima nutiesti tiek linijų, kiek reikia.
Paskalio trikampio savybės
Yra šiek tiek Paskalio trikampio savybės, dėl jo statybos reguliarumo. Šios savybės naudingos dirbant su deriniais, kuriant pačias trikampio linijas ir suskaičiuojant linijų, stulpelių ir įstrižainių sumą.
1-asis turtas
Pirmoji nuosavybė buvo ta, kurią panaudojome statydami trikampį. Taigi, kad Raskite terminą Paskalio trikampyje, tiesiog pridėkite terminą, esantį eilutėje virš jo, ir tą patį stulpelį su terminu, kuris yra stulpelyje ir eilutėje prieš jį. Ši nuosavybė gali būti pavaizduota taip:
Ši nuosavybė žinoma kaip Stifel santykiai ir svarbu palengvinti trikampio konstravimą ir rasti kiekvienos linijos reikšmes.
2-asis turtas
Visų iš eilės terminų suma apskaičiuojama taip:
sne=2ne, ant ko ne yra eilutės numeris.
Pavyzdžiai:
Su šia nuosavybe galima sužinoti visų eilutėje esančių terminų suma nebūtinai turi konstruoti Paskalio trikampį. Pavyzdžiui, 10 eilutės sumą galima apskaičiuoti iš 210 = 1024. Nors žinomi ne visi terminai, jau galima žinoti visos eilutės sumą.
3 turtas
Terminų, kurie seka nuo nurodyto stulpelio pradžios, suma dėl iki tam tikros linijos ne yra toks pat kaip eilutėje esantis terminas n+1 nugara ir stulpelis p+1 vėliau, kaip parodyta žemiau:
4-asis turtas
Įstrižainės, prasidedančios 0 stulpelyje ir einančios į p stulpelio ir n eilutės terminą, suma yra lygi terminui tame pačiame stulpelyje (p), bet žemiau esančioje eilutėje (n+1), kaip parodyta paveikslėlyje. :
5-asis turtas
Paskalio trikampio linijose yra simetrija. Pirmas ir antrasis nariai yra lygūs, antrasis ir priešpaskutinis – lygūs ir pan.
Pavyzdys:
6 eilutė: 1615 20 156 1.
Atkreipkite dėmesį, kad terminai yra lygūs du dviem, išskyrus centrinį terminą.
Taip pat žiūrėkite: Polinomo padalijimas: kaip tai išspręsti?
Niutono dvinaris
Mes apibrėžiame Niutono dvinarį a vieno galia daugianario kuri turi du terminus. Binomio skaičiavimas yra susijęs su Paskalio trikampiu, kuris tampa vadinamųjų dvinario koeficientų skaičiavimo mechanizmu. Norėdami apskaičiuoti dvinarį, naudojame šią formulę:
Atkreipkite dėmesį, kad eksponento reikšmė The jis mažėja, kol paskutiniame kadre yra lygus The0. Žinome, kad kiekvienas skaičius, padidintas iki 0, yra lygus 1, taigi ir terminas The nepasirodo paskutinę kadenciją. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad rodiklis B prasideda nuo B0, greitai B nepasireiškia per pirmą kadenciją ir didėja iki pasiekimo Bne, paskutinėje kadencijoje.
Be to, skaičius, kuris pridedamas prie kiekvieno termino, yra tai, ką mes vadiname koeficientu – šiuo atveju žinomu kaip dvinario koeficientas. Norėdami geriau suprasti, kaip išspręsti šio tipo dvinarį, peržiūrėkite mūsų tekstą: Niutono dvinaris.
binominis koeficientas
Binominis koeficientas yra ne kas kita, kaip derinys, kurį galima apskaičiuoti naudojant formulę:
Tačiau norint palengvinti Niutono dvinario skaičiavimą, būtina naudoti Paskalio trikampį, nes jis greičiau pateikia derinio rezultatą.
Pavyzdys:
Norėdami rasti dvinario koeficiento rezultatą, suraskime Paskalio trikampio 5 eilutės reikšmes, kurios yra {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1m5
Paprasčiau pasakius:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
išspręsti pratimai
Klausimas 1 - Žemiau esančios išraiškos vertė yra?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rezoliucija
Alternatyva A.
Pergrupuodami teigiamas ir neigiamas vertes, turime:
Atkreipkite dėmesį, kad mes iš tikrųjų skaičiuojame atimtį tarp Paskalio trikampio 4 ir 3 eilutės. Pagal nuosavybę žinome, kad:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2 klausimas - Kokia yra toliau pateiktos išraiškos reikšmė?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rezoliucija
Alternatyva B.
Atkreipkite dėmesį, kad terminus iš Paskalio trikampio 1 stulpelio pridedame į 7 eilutę, tada į 3-ią nuosavybė, šios sumos vertė yra lygi terminui, kuris užima 7+1 eilutę ir 1+1 stulpelį, tai yra 8 eilutę, 2 stulpelis. Kadangi norime tik vienos reikšmės, konstruoti visą Paskalio trikampį nėra patogu.
Raulis Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytojas
Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm