Matricos: komentuojami ir išspręsti pratimai

„Matrica“ yra lentelė, sudaryta iš realių skaičių, išdėstyta eilutėmis ir stulpeliais. Matricoje rodomi skaičiai vadinami elementais.

Pasinaudokite išspręstais ir pakomentuotais stojamojo egzamino klausimais, kad pašalintumėte visas abejones dėl šio turinio.

Stojimo egzamino problemos išspręstos

1) „Unicamp“ - 2018 m

Tegul a ir b yra realieji skaičiai, kad matrica A = atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 2 eilutėmis su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus tenkina A lygtį2= aA + bI, kur I yra 2 eilės tapatumo matrica. Taigi sandauga ab lygi

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Norėdami sužinoti produkto a.b vertę, pirmiausia turime žinoti a ir b vertes. Taigi apsvarstykime problemoje pateiktą lygtį.

Norėdami išspręsti lygtį, apskaičiuokime A vertę2, kuris atliekamas padauginus A matricą iš savęs, tai yra:

Kvadratas, lygus atviriems laužtiniams skliaustams, lentelės eilutė su 1 2 eilute su 0 1 lentelės galu uždaro laužtinius skliaustus. atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 2 eilutėmis su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus

Ši operacija atliekama padauginus pirmosios matricos eilutes iš antrosios matricos stulpelių, kaip parodyta žemiau:

Tokiu būdu matrica A2 tai tas pats kaip:

Kvadratas lygus atviroms laužtinėms skliaustams lentelės eilutėje, kurioje yra 1 4 eilutės, o 0 1 lentelės galas uždaromas laužtiniuose skliaustuose

Atsižvelgiant į ką tik rastą vertę ir prisimenant, kad tapatumo matricoje pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o kiti elementai yra lygūs 0, lygtis bus:

atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 4 eilutėmis su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus, lygius a. atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 2 eilutėmis su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus dar b. atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 0 eilučių su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus

Dabar matricą A turime padauginti iš skaičiaus a, o tapatybės - iš skaičiaus b.

Atminkite, kad skaičių padauginę iš masyvo, skaičių padauginame iš kiekvieno masyvo elemento.

Taigi mūsų lygybė bus lygi:

atidarykite skliaustus lentelės eilutė su 1 4 eilute su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus lygu atviriems skliaustams lentelės eilutė su langeliu nuo 2 iki langelio pabaigos su 0 lentelės pabaiga uždaryti laužtinius skliaustus daugiau atvirų laužtinių skliaustų lentelės eilutė su b 0 eilutė su 0 b lentelės pabaiga skliausteliuose

Pridėję dvi matricas, turime:

atidarykite skliaustus lentelės eilutė su 1 4 eilutėmis su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus lygu atviriems skliaustams lentelės eilutė su langeliu su pliusu b langelio langelio galu su 2 langelių galu su 0 langelių, pliuso b langelio galu uždarant lentelės pabaigą skliausteliuose

Dvi matricos yra lygios, kai visi atitinkami elementai yra vienodi. Tokiu būdu galime parašyti šią sistemą:

atvirų raktų lentelės atributai stulpelio išlyginimas kairysis galas atributų eilutė su langeliu su pliusu b lygus 1 langelio eilutės galui su langeliu su 2 lygu 4 langelio galu lentelės pabaigoje

Išskyrus a antrojoje lygtyje:

2–4 dvigubos rodyklės dešinėn lygi 4 virš 2 dvigubos rodyklės dešinėn lygi 2

Pakeisdami pirmojoje lygtyje rastą a vertę, randame b vertę:

2 + b = 1
b = 1-2
b = -1

Taigi produktą suteiks:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternatyva: a) −2.

2) „Unesp“ - 2016 m

Tašką P su stačiakampio Dekarto plokštumos koordinatėmis (x, y) vaizduoja stulpelio matrica. atidarykite skliaustelius lentelės eilutė su x eilute su y stalo galu uždarykite skliaustus, taip pat stulpelio matrica atidarykite skliaustelius lentelės eilutė su x eilute su y stalo galu uždarykite skliaustus stačiakampėje Dekarto plokštumoje žymi koordinačių tašką P (x, y). Taigi, matricos daugybos rezultatas atviros laužtinės skliausteliuose lentelės eilutė su 0 langelių, atėmus 1 langelio eilutės galą su 1 0 lentelės galu, uždaro laužtinius skliaustus. atidarykite skliaustelius lentelės eilutė su x eilute su y stalo galu uždarykite skliaustus yra stulpelio matrica, kuri stačiakampėje Dekarto plokštumoje būtinai reiškia tašką, kuris yra

a) 180 ° P pasukimas pagal laikrodžio rodyklę, o jo centras yra ties (0, 0).
b) P pasukimas 90 ° prieš laikrodžio rodyklę, kurio centras yra (0, 0).
c) P simetriškumas horizontalios x ašies atžvilgiu.
d) P simetriškumas vertikalios y ašies atžvilgiu.
e) P pasisukimas 90 ° pagal laikrodžio rodyklę, o centras yra ties (0, 0).

Tašką P vaizduoja matrica, taigi abscisę (x) žymi elementas a.11 ir ordinatė (y) elementu a21 matricos.

Norėdami rasti naują taško P padėtį, turime išspręsti pateiktų matricų dauginimą ir rezultatas bus:

Nesuprantamas klausimas, 2016 m. Matricos

Rezultatas rodo naują taško P koordinatę, tai yra, abscisė lygi -y, o ordinatė lygi x.

Norėdami nustatyti transformaciją, įvykusią taško P padėtyje, parodykime padėtį Dekarto plokštumoje, kaip nurodyta toliau:

neatsakytų klausimų 2016 m. matricos

Todėl taškas P, kuris iš pradžių buvo 1 kvadrante (teigiama abscisė ir ordinatė), persikėlė į 2 kvadratą (neigiama abscisė ir teigiama ordinata).

Pereinant į šią naują padėtį, taškas buvo pasuktas prieš laikrodžio rodyklę, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje raudona rodyklė.

Mes vis dar turime nustatyti, kokia buvo sukimosi kampo vertė.

Susiedami pradinę taško P padėtį su Dekarto ašies centru ir atlikdami tą patį jo naujos padėties P 'atžvilgiu, turime tokią situaciją:

neatsakytų klausimų 2016 m. matricos

Atkreipkite dėmesį, kad du paveiksle nurodyti trikampiai yra sutampantys, tai yra, jų matmenys yra vienodi. Tokiu būdu jų kampai taip pat yra vienodi.

Be to, kampai α ir θ yra vienas kitą papildantys, nes trikampių vidinių kampų suma lygi 180º, o kadangi trikampis yra stačiakampis, šių dviejų kampų suma bus lygi 90º.

Todėl taško sukimosi kampas, nurodytas paveiksle β, gali būti lygus tik 90 °.

Alternatyva: b) 90 ° P pasukimas prieš laikrodžio rodyklę, o centras yra ties (0, 0).

3) „Unicamp“ - 2017 m

Kadangi a yra tikrasis skaičius, apsvarstykite matricą A = atidarykite skliaustus lentelės eilutėje, kurioje yra 1 eilutė su 0 langelių, atėmus 1 langelio galą, uždarant skliaustus. Taigi2017 tai tas pats kaip
) atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 0 eilučių su 0 1 lentelės galu uždarykite skliaustus
B) atidarykite skliaustus lentelės eilutėje, kurioje yra 1 eilutė su 0 langelių, atėmus 1 langelio galą, uždarant skliaustus
ç) atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 1 1 eilute ir 1 1 lentelės galu uždarykite skliaustus
d) atviros skliausteliuose lentelės eilutė su 1 langeliu su 2017 langelio galios galia su 0 langelių su atėmus 1 langelio pabaigą lentelės pabaiga uždaryti skliaustus

Pirmiausia pabandykime rasti galių modelį, nes daug kartų reikia dauginti A matricą 2017 m.

Prisimindami, kad dauginant matricą, kiekvienas elementas randamas pridedant vieno eilutės elementų dauginimo iš kito stulpelio elementų rezultatus.

Pradėkime nuo A skaičiavimo2:

atidarytos skliausteliuose lentelės eilutė su 1 eilute su 0 langelių su atėmus 1 langelio galą lentelės pabaiga uždaro skliaustų tarpą. tarpas atidarytas skliaustuose lentelės eilutėje, kurioje yra 1 eilutė su 0 langelių, atėmus 1 langelio galą, lentelės pabaiga uždaryta skliausteliuose lygu atviroms skliaustų lentelės eilutėms su langeliu su 1.1 ir a.0 langelio langelio galu su tarpu 1 tarpas. labiausiai a. kairysis skliaustas atėmus 1 dešinįjį skliaustą ląstelės eilutės pabaigoje su ląstele 0,1 ir 0. kairysis skliaustas atėmus 1 dešiniojo skliaustelio ląstelės galinę ląstelę su 0. plius kairysis skliaustas atėmus 1 dešinįjį skliaustą. kairieji skliaustai atėmus 1 dešinįjį skliaustą langelio pabaiga lentelės pabaiga uždaroma skliaustai lygi atviroms skliaustams lentelės eilutė su 1 0 eilute su 0 1 lentelės pabaiga uždaromi skliaustai

Rezultatas buvo tapatumo matrica, o kai padauginsime bet kurią matricą iš tapatumo matricos, rezultatas bus pati matrica.

Todėl A vertė3 bus lygus pačiai matricai A, nes A3 = A2. .

Šis rezultatas bus pakartotas, tai yra, kai rodiklis yra lyginis, rezultatas yra tapatumo matrica, o kai jis yra nelyginis, tai bus pati matrica A.

Kadangi 2017 m. Yra keista, rezultatas bus lygus matricai A.

Alternatyva: b) atidarykite skliaustus lentelės eilutėje, kurioje yra 1 eilutė su 0 langelių, atėmus 1 langelio galą, uždarant skliaustus

4) UFSM - 2011 m

UFSM matricų leidimas 2011 m

Pateikta schema nurodo supaprastintą tam tikros ekosistemos maisto grandinę. Rodyklės nurodo rūšis, kuriomis minta kitos rūšys. Priskirdami vertę 1, kai viena rūšis minta kita, ir nulį, kai įvyksta priešingai, turime šią lentelę:

ufsm 2011 m. matricos

Matrica A = (at)4x4, susietame su lentele, yra toks mokymo įstatymas:

dešinieji skliaustai yra tarpas su i j subkripto indekso pabaiga, lygi atvirų raktų lentelės atributams, stulpelio išlyginimas kairiajame atributų eilutės gale su langeliu 0 kablelio s tarpas ir mažesnis arba lygus j langelio eilutės galui su langeliu su 1 kablelio tarpu, o i tarpas didesnis nei j lentelės langelio galas uždaro b dešiniąją skliaustą su i j indeksas indekso galas lygus atviriems raktams lentelės atributų stulpelio išlyginimas kairysis atributų eilutės galas su langeliu su 0 kablelių tarpu ir i tarpu, lygiu j langelio eilutės pabaiga su langeliu, kuriame yra 1 kablelio tarpas s ir i tarpas nevienodas j langelio pabaiga lentelės pabaiga uždaro dešiniąją skliaustų tarpą a su i j a atidaro raktų lentelę atributus stulpelio lygiavimas kairysis galas atributų eilutę su langeliu su 0 kablelių tarpu ir i tarpu, didesniu arba lygiu j langelio eilutės su langeliu pabaiga su 1 kablelio s tarpu ir i tarpu mažiau nei j langelio pabaiga lentelės pabaiga uždaryti d dešinioji skliaustai yra tarpas su i j subindekso indekso galu, lygus atvirų raktų atributams lentelės stulpelio išlyginimas kairiajame atributų eilutės gale su langeliu su 0 kablelių tarpu ir i tarpu ne lygu j langelio eilutės pabaiga su langeliu su 1 kablelio tarpu ir i tarpu lygus j langelio pabaiga lentelės pabaiga uždaroma, o dešinieji skliausteliuose yra tarpas su i j subindekso indekso galu lygus atviriems raktams lentelės atributai stulpelio lygiavimas kairysis galas atributų eilutės su langeliu, kuriame yra 0 kablelio tarpų, o i langelio eilutės gale yra mažiau nei j, o langelyje yra 1 kablelio tarpas, o i tarpas yra didesnis nei j stalas uždaromas

Kadangi eilutės numerį žymi i, o stulpelio numerį - j, ir žiūrėdami į lentelę pastebime, kad kai i yra lygus j arba i yra didesnis už j, rezultatas yra lygus nuliui.

1 užimamos pozicijos yra tos, kuriose stulpelio numeris yra didesnis nei eilutės numeris.

Alternatyva: c) a su i j indekso indekso pabaiga lygi atvirų raktų lentelės atributų stulpelio išlygiavimui kairiajame atributų eilutės gale su langeliu 0 kablelio tarpas ir i tarpas, didesnis arba lygus j langelio eilutės galui su langeliu su 1 kablelio tarpu, o i tarpas mažesnis nei j langelio langelio galas užsidaro

5) „Unesp“ - 2014 m

Apsvarstykite matricos lygtį A + BX = X + 2C, kurios nežinoma yra X matrica, o visos matricos yra n eilės kvadrato. Būtina ir pakankama sąlyga, kad ši lygtis turėtų vieną sprendimą, yra tokia:

a) B - I ≠ O, kur I yra n eilės tapatumo matrica, o O - n eilės n matrica.
b) B yra apverčiamas.
c) B ≠ O, kur O yra n eilės nulinė matrica.
d) B - I yra invertuojamas, kur I yra n eilės tapatumo matrica.
e) A ir C yra invertuojami.

Norėdami išspręsti matricos lygtį, turime išskirti X vienoje ženklo pusėje. Norėdami tai padaryti, iš pradžių atimkime matricą A iš abiejų pusių.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Dabar atimkime X, taip pat iš abiejų pusių. Šiuo atveju lygtis bus:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Kadangi aš esu tapatybės matrica, kai matricą padauginame iš tapatybės, rezultatas yra pati matrica.

Taigi, norėdami išskirti X, dabar turime lygybės ženklo abi puses padauginti iš atvirkštinės (B-I) matricos, tai yra:

X. (B - I). (B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)

Prisimenant, kad kai matrica yra invertuojama, matricos sandauga pagal atvirkštinę yra lygi tapatumo matricai.
X = (B - I) - 1. (2C - A)

Taigi lygtis turės sprendimą, kai B - I bus invertuojamas.

Alternatyva: d) B - I yra invertuojamas, kur I yra n eilės tapatumo matrica.

6) Priešas - 2012 m

Studentas kas mėnesį perduodavo kai kurių savo dalykų pažymius lentelėje. Jis pažymėjo, kad skaitiniai įrašai lentelėje sudarė 4x4 matricą ir kad jis galėjo apskaičiuoti šių disciplinų metinius vidurkius naudodamas matricų sandaugą. Visų testų svoris buvo vienodas, o lentelė, kurią jis gavo, parodyta žemiau

Lentelė 2012 m. Matricos

Norėdami gauti šiuos vidurkius, jis padaugino iš lentelės gautą matricą iš

dešinysis skliaustų tarpas atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su langeliu su puse ląstelės galo su puse ląstelės galo su puse ląstelės galo puse ir viena puse ląstelės galo langelio lentelės pabaiga uždaro laužtinius skliaustus skliausteliuose dešiniojo skliaustelio lauke atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su 1 ketvirtąja langelio pabaiga 1 ketvirtasis langelio galas su 1 ketvirtu langelio galu lentelės pabaiga uždaromi skliausteliuose su 1 lentelės galu uždaromais skliaustais d dešiniosios skliaustuose tarpas atviri skliaustai lentelės eilutė su langeliu su 1 puse langelio eilutės galo su ląstele su 1 puse langelio eilutės galu su langelis su 1 langelio galo puse ir langelio su puse langelio pabaigos lentelės galas uždaromi laužtiniai skliaustai ir dešinieji skliaustai ketvirtas langelio galas su langeliu su 1/4 langelio eilės galu su ląstele su 1/4 langelio eilės galu su ląstele su 1/4 langelio galu lentelės pabaigoje skliausteliuose

Aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas sudėjus visas reikšmes ir padalijus iš verčių skaičiaus.

Taigi, studentas turi pridėti 4 bimesterių pažymius ir padalinti rezultatą iš 4 arba padauginti kiekvieną pažymį iš 1/4 ir pridėti visus rezultatus.

Naudodami matricas, tą patį rezultatą galime pasiekti atlikdami matricos dauginimą.

Tačiau turime nepamiršti, kad padauginti dvi matricas įmanoma tik tada, kai vienoje stulpelių skaičius yra lygus kitų eilučių skaičiui.

Kadangi natų matricoje yra 4 stulpeliai, matricoje, kurią ketiname padauginti, turi būti 4 eilutės. Taigi turime padauginti iš stulpelio matricos:

atidarykite laužtinius skliaustus lentelės eilutėje su 1 langeliu ketvirtu langelio galu su 1 langeliu ketvirtu langelio galu eilutė su langeliu su 1/4 langelio pabaigos eilute su ląstele su 1/4 langelio galu uždarant lentelę skliausteliuose

Alternatyva: ir

7) „Fuvest“ - 2012 m

Apsvarstykite matricą Lygūs atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su langeliu su 2 plius 1 langelio eilutės galu su langeliu su minus 1 langelio galu ir plius 1 langelio galu lentelės pabaigoje, ant ko yra tikrasis skaičius. Žinant, kad A pripažįsta atvirkštinį A-1 kurio pirmasis stulpelis yra atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su langeliu, atėmus 2 langelio eilutės galą su langeliu su minusu 1 langelio galu, stalo pabaiga uždaryti laužtinius skliaustus, A pagrindinės įstrižainės elementų suma-1 tai tas pats kaip

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Matricos padauginimas iš atvirkštinės yra lygus tapatumo matricai, todėl situaciją galime pateikti atlikdami šią operaciją:

atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su langeliu plius 1 langelio galas su langeliu atėmus 1 langelio galą plius 1 langelio galas lentelės galas uždaro laužtinius skliaustus. tarpas atviri laužtiniai skliaustai lentelės eilutė su langeliu, atėmus 2 langelio galą x eilutė su langeliu atėmus 1 galą langelis y lentelės galas uždaro laužtinius skliaustus, lygius atviriems laužtiniams skliaustams lentelės eilutė su 1 0 eilute ir 0 1 lentelės pabaiga skliausteliuose

Išsprendę pirmosios matricos antros eilutės padauginimą iš pirmosios antrosios matricos stulpelio, turime tokią lygtį:

(iki 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2-oji2 - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2-oji2 - 4 = 0
2 (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Matricoje pakeisdami a vertę, turime:

atviros laužtinės skliausteliuose lentelės eilutė su 2 langeliais su 2,2 plius 1 langelio eilutės galu su langeliu su 2 atėmus 1 langelio galą su 2 pliusais 1 langelio galas lentelės gale uždaro laužtinius skliaustus, lygius atviriems laužtiniams skliaustams lentelės eilutė su 2 5 eilutėmis su 1 3 lentelės galu uždaro laužtinius skliaustus

Dabar, kai žinome matricą, apskaičiuokime jos determinantą:

d e t tarpas Erdvė, lygi atvirai vertikaliai juostos lentelės linijai, kurioje yra 2 5 eilutės su 1 3 lentelės galu, uždaryti vertikalią juostą, lygią 2,3 vietos atėmus 5.1 lygus 1 S ir n d o kablelio erdvei A, atėmus 1 eksponentinio galo galią, lygų skaitiklio 1 virš vardiklio d ir t tarpo A galui. trupmena. atidarykite skliaustus lentelės eilutėje su 3 langeliais su minus 5 langelio galo pabaiga su langeliu su minus 1 langelio galu 2 lentelės galu uždarykite skliaustus A iki minus 1 galios eksponentinio galo lygus atviriems laužtiniams skliaustams lentelės eilutė su 3 langeliais atėmus 5 langelių eilutės galus su langeliu minus 1 langelio pabaiga 2 lentelės pabaiga skliausteliuose

Taigi pagrindinės įstrižainės suma bus lygi 5.

Alternatyva: a) 5

Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite:

  • Matricos
  • Lemiantys veiksniai
  • Sarriaus taisyklė
  • Laplaso teorema
  • Perkelta matrica

Sintaksės analizės pratimai (su komentuojamu šablonu)

Nurodykite vienintelį sakinį, kuriame objektas yra neapibrėžtas.paaiškino atsiliepimąVeiksmažodis...

read more

Išskyrimo sistemos pratimai (su anotuotu atsiliepimu)

Pasitikrink savo žinias su 10 klausimų tada ant šalinimo sistemos.Pasinaudokite komentarais po at...

read more

Pratimai apie medžiagas ir mišinius (su komentuojamu šablonu)

Pasitikrink savo žinias su 10 klausimų toliau apie medžiagas ir mišinius. Išskleiskite savo abejo...

read more
instagram viewer