Matricos: komentuojami ir išspręsti pratimai

„Matrica“ yra lentelė, sudaryta iš realių skaičių, išdėstyta eilutėmis ir stulpeliais. Matricoje rodomi skaičiai vadinami elementais.

Pasinaudokite išspręstais ir pakomentuotais stojamojo egzamino klausimais, kad pašalintumėte visas abejones dėl šio turinio.

Stojimo egzamino problemos išspręstos

1) „Unicamp“ - 2018 m

Tegul a ir b yra realieji skaičiai, kad matrica A = tenkina A lygtį²= aA + bI, kur I yra 2 eilės tapatumo matrica. Taigi sandauga ab lygi

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Žr. Atsakymas

Norėdami sužinoti produkto a.b vertę, pirmiausia turime žinoti a ir b vertes. Taigi apsvarstykime problemoje pateiktą lygtį.

Norėdami išspręsti lygtį, apskaičiuokime A vertę², kuris atliekamas padauginus A matricą iš savęs, tai yra:

Ši operacija atliekama padauginus pirmosios matricos eilutes iš antrosios matricos stulpelių, kaip parodyta žemiau:

Tokiu būdu matrica A² tai tas pats kaip:

Atsižvelgiant į ką tik rastą vertę ir prisimenant, kad tapatumo matricoje pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o kiti elementai yra lygūs 0, lygtis bus:

Dabar matricą A turime padauginti iš skaičiaus a, o tapatybės - iš skaičiaus b.

Atminkite, kad skaičių padauginę iš masyvo, skaičių padauginame iš kiekvieno masyvo elemento.

Taigi mūsų lygybė bus lygi:

Pridėję dvi matricas, turime:

Dvi matricos yra lygios, kai visi atitinkami elementai yra vienodi. Tokiu būdu galime parašyti šią sistemą:

Išskyrus a antrojoje lygtyje:

Pakeisdami pirmojoje lygtyje rastą a vertę, randame b vertę:

2 + b = 1
b = 1-2
b = -1

Taigi produktą suteiks:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternatyva: a) −2.

2) „Unesp“ - 2016 m

Tašką P su stačiakampio Dekarto plokštumos koordinatėmis (x, y) vaizduoja stulpelio matrica. , taip pat stulpelio matrica stačiakampėje Dekarto plokštumoje žymi koordinačių tašką P (x, y). Taigi, matricos daugybos rezultatas yra stulpelio matrica, kuri stačiakampėje Dekarto plokštumoje būtinai reiškia tašką, kuris yra

a) 180 ° P pasukimas pagal laikrodžio rodyklę, o jo centras yra ties (0, 0).
b) P pasukimas 90 ° prieš laikrodžio rodyklę, kurio centras yra (0, 0).
c) P simetriškumas horizontalios x ašies atžvilgiu.
d) P simetriškumas vertikalios y ašies atžvilgiu.
e) P pasisukimas 90 ° pagal laikrodžio rodyklę, o centras yra ties (0, 0).

Žr. Atsakymas

Tašką P vaizduoja matrica, taigi abscisę (x) žymi elementas a.₁₁ ir ordinatė (y) elementu a₂₁ matricos.

Norėdami rasti naują taško P padėtį, turime išspręsti pateiktų matricų dauginimą ir rezultatas bus:

Rezultatas rodo naują taško P koordinatę, tai yra, abscisė lygi -y, o ordinatė lygi x.

Norėdami nustatyti transformaciją, įvykusią taško P padėtyje, parodykime padėtį Dekarto plokštumoje, kaip nurodyta toliau:

Todėl taškas P, kuris iš pradžių buvo 1 kvadrante (teigiama abscisė ir ordinatė), persikėlė į 2 kvadratą (neigiama abscisė ir teigiama ordinata).

Pereinant į šią naują padėtį, taškas buvo pasuktas prieš laikrodžio rodyklę, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje raudona rodyklė.

Mes vis dar turime nustatyti, kokia buvo sukimosi kampo vertė.

Susiedami pradinę taško P padėtį su Dekarto ašies centru ir atlikdami tą patį jo naujos padėties P 'atžvilgiu, turime tokią situaciją:

Atkreipkite dėmesį, kad du paveiksle nurodyti trikampiai yra sutampantys, tai yra, jų matmenys yra vienodi. Tokiu būdu jų kampai taip pat yra vienodi.

Be to, kampai α ir θ yra vienas kitą papildantys, nes trikampių vidinių kampų suma lygi 180º, o kadangi trikampis yra stačiakampis, šių dviejų kampų suma bus lygi 90º.

Todėl taško sukimosi kampas, nurodytas paveiksle β, gali būti lygus tik 90 °.

Alternatyva: b) 90 ° P pasukimas prieš laikrodžio rodyklę, o centras yra ties (0, 0).

3) „Unicamp“ - 2017 m

Kadangi a yra tikrasis skaičius, apsvarstykite matricą A = . Taigi²⁰¹⁷ tai tas pats kaip
)
B)
ç)
d)

Žr. Atsakymas

Pirmiausia pabandykime rasti galių modelį, nes daug kartų reikia dauginti A matricą 2017 m.

Prisimindami, kad dauginant matricą, kiekvienas elementas randamas pridedant vieno eilutės elementų dauginimo iš kito stulpelio elementų rezultatus.

Pradėkime nuo A skaičiavimo²:

Rezultatas buvo tapatumo matrica, o kai padauginsime bet kurią matricą iš tapatumo matricos, rezultatas bus pati matrica.

Todėl A vertė³ bus lygus pačiai matricai A, nes A³ = A². .

Šis rezultatas bus pakartotas, tai yra, kai rodiklis yra lyginis, rezultatas yra tapatumo matrica, o kai jis yra nelyginis, tai bus pati matrica A.

Kadangi 2017 m. Yra keista, rezultatas bus lygus matricai A.

Alternatyva: b)

4) UFSM - 2011 m

Pateikta schema nurodo supaprastintą tam tikros ekosistemos maisto grandinę. Rodyklės nurodo rūšis, kuriomis minta kitos rūšys. Priskirdami vertę 1, kai viena rūšis minta kita, ir nulį, kai įvyksta priešingai, turime šią lentelę:

Matrica A = (a_t)_4x4, susietame su lentele, yra toks mokymo įstatymas:

Žr. Atsakymas

Kadangi eilutės numerį žymi i, o stulpelio numerį - j, ir žiūrėdami į lentelę pastebime, kad kai i yra lygus j arba i yra didesnis už j, rezultatas yra lygus nuliui.

1 užimamos pozicijos yra tos, kuriose stulpelio numeris yra didesnis nei eilutės numeris.

Alternatyva: c)

5) „Unesp“ - 2014 m

Apsvarstykite matricos lygtį A + BX = X + 2C, kurios nežinoma yra X matrica, o visos matricos yra n eilės kvadrato. Būtina ir pakankama sąlyga, kad ši lygtis turėtų vieną sprendimą, yra tokia:

a) B - I ≠ O, kur I yra n eilės tapatumo matrica, o O - n eilės n matrica.
b) B yra apverčiamas.
c) B ≠ O, kur O yra n eilės nulinė matrica.
d) B - I yra invertuojamas, kur I yra n eilės tapatumo matrica.
e) A ir C yra invertuojami.

Žr. Atsakymas

Norėdami išspręsti matricos lygtį, turime išskirti X vienoje ženklo pusėje. Norėdami tai padaryti, iš pradžių atimkime matricą A iš abiejų pusių.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Dabar atimkime X, taip pat iš abiejų pusių. Šiuo atveju lygtis bus:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Kadangi aš esu tapatybės matrica, kai matricą padauginame iš tapatybės, rezultatas yra pati matrica.

Taigi, norėdami išskirti X, dabar turime lygybės ženklo abi puses padauginti iš atvirkštinės (B-I) matricos, tai yra:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Prisimenant, kad kai matrica yra invertuojama, matricos sandauga pagal atvirkštinę yra lygi tapatumo matricai.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Taigi lygtis turės sprendimą, kai B - I bus invertuojamas.

Alternatyva: d) B - I yra invertuojamas, kur I yra n eilės tapatumo matrica.

6) Priešas - 2012 m

Studentas kas mėnesį perduodavo kai kurių savo dalykų pažymius lentelėje. Jis pažymėjo, kad skaitiniai įrašai lentelėje sudarė 4x4 matricą ir kad jis galėjo apskaičiuoti šių disciplinų metinius vidurkius naudodamas matricų sandaugą. Visų testų svoris buvo vienodas, o lentelė, kurią jis gavo, parodyta žemiau

Norėdami gauti šiuos vidurkius, jis padaugino iš lentelės gautą matricą iš

Žr. Atsakymas

Aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas sudėjus visas reikšmes ir padalijus iš verčių skaičiaus.

Taigi, studentas turi pridėti 4 bimesterių pažymius ir padalinti rezultatą iš 4 arba padauginti kiekvieną pažymį iš 1/4 ir pridėti visus rezultatus.

Naudodami matricas, tą patį rezultatą galime pasiekti atlikdami matricos dauginimą.

Tačiau turime nepamiršti, kad padauginti dvi matricas įmanoma tik tada, kai vienoje stulpelių skaičius yra lygus kitų eilučių skaičiui.

Kadangi natų matricoje yra 4 stulpeliai, matricoje, kurią ketiname padauginti, turi būti 4 eilutės. Taigi turime padauginti iš stulpelio matricos:

Alternatyva: ir

7) „Fuvest“ - 2012 m

Apsvarstykite matricą , ant ko yra tikrasis skaičius. Žinant, kad A pripažįsta atvirkštinį A^-1 kurio pirmasis stulpelis yra , A pagrindinės įstrižainės elementų suma^-1 tai tas pats kaip

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Žr. Atsakymas

Matricos padauginimas iš atvirkštinės yra lygus tapatumo matricai, todėl situaciją galime pateikti atlikdami šią operaciją:

Išsprendę pirmosios matricos antros eilutės padauginimą iš pirmosios antrosios matricos stulpelio, turime tokią lygtį:

(iki 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2-oji² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2-oji² - 4 = 0
2 (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Matricoje pakeisdami a vertę, turime:

Dabar, kai žinome matricą, apskaičiuokime jos determinantą:

Taigi pagrindinės įstrižainės suma bus lygi 5.

Alternatyva: a) 5

Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite:

• Matricos
• Lemiantys veiksniai
• Sarriaus taisyklė
• Laplaso teorema
• Perkelta matrica