Pratimai dėl rinkinių ir rinkinių operacijų

Matematikoje rinkiniai reiškia įvairių objektų rinkimą, o rinkiniais atliekamos operacijos yra: susivienijimas, sankirta ir skirtumas.

Norėdami patikrinti savo žinias, pasinaudokite 10 žemiau pateiktų klausimų. Norėdami pašalinti abejones, naudokite komentuojamas rezoliucijas.

Klausimas 1

Apsvarstykite rinkinius

A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

Teisinga sakyti, kad:

a) A B
b) B
c) B
d) B

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: b) A B.

a) NETEISINGAI. Yra B elementų, nepriklausančių A rinkiniui. Todėl negalime sakyti, kad A yra B. Teisingas teiginys būtų B .

b) TINKAMA. Atkreipkite dėmesį, kad visi A elementai taip pat yra B elementai. Todėl galime sakyti, kad A yra B, A yra B dalis arba A yra B pogrupis.

c) NETEISINGAI. Nėra A elemento, kuris nepriklausytų rinkiniui B. Todėl negalime sakyti, kad B nėra A.

d) NETEISINGAI. Kadangi A yra B pogrupis, tada aibių A ir B sankirta yra pati aibė A: B A = A

2 klausimas

Pažvelkite į šiuos rinkinius ir pažymėkite teisingą alternatyvą.

A = {x | x yra teigiamas 4 kartotinis
B = {x | x yra lyginis skaičius ir 4 x 16}

a) 145
b) 26 A ir B
c) 11 B
d) 12 A ir B

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: d) 12 A ir B

Klausimo rinkinius vaizduoja jų formavimosi dėsniai. Taigi rinkinį A sudaro teigiami 4 kartotiniai, tai yra, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}, o B rinkinys surenka lyginius skaičius, didesnius arba lygius 4 ir mažesnius nei 16. Todėl B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Analizuodami alternatyvas, turime:

a) NETEISINGAI. 145 yra skaičius, besibaigiantis 5, todėl yra 5 kartotinis.

b) NETEISINGAI. 26, nepaisant lyginio skaičiaus, yra didesnis nei 16 ir todėl nėra B rinkinio dalis.

c) NETEISINGAI. 11 nėra lyginis skaičius, bet pirminis skaičius, tai yra, jis dalijasi tik iš 1 ir jo paties.

d) TEISINGA. 12 priklauso A ir B aibėms, nes yra daugiklis iš 4 ir yra lyginis skaičius didesnis nei 4 ir mažesnis nei 16.

3 klausimas

Koks galimas aibės A = {2, 3, 5, 7, 11} formavimosi dėsnis?

a) A = {x | x yra simetriškas skaičius ir 2 b) A = {x | x yra pagrindinis skaičius ir 1 c) A = {x | x yra teigiamas nelyginis skaičius ir 1 d) A = {x | x yra natūralusis skaičius, mažesnis nei 10}

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: b) A = {x | x yra pirminis skaičius ir 1

a) NETEISINGAI. Simetriniai skaičiai, dar vadinami priešingybėmis, skaičių tiesėje atsiranda tuo pačiu atstumu. Pavyzdžiui, 2 ir - 2 yra simetriški.

b) TINKAMA. Pateiktas rinkinys yra pirminių skaičių, 2 yra mažiausias esamas pirminis skaičius ir vienintelis lyginis.

c) NETEISINGAI. Nors dauguma skaičių yra nelyginiai, rinkinyje yra skaičius 2, kuris yra lyginis.

d) NETEISINGAI. Nors visi skaičiai yra natūralūs, rinkinyje yra skaičius 11, kuris yra didesnis nei 10.

4 klausimas

Aibių A = {x | x sąjunga yra pagrindinis skaičius ir 1

a) A B = {1,2,3,5,7}
b) B = {1,2,3,5,7}
c) B = {1,2,3,5,7}
duoda B = {1,2,3,5,7}

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}

Aibei A = {x | x yra pirminis skaičius ir 1

A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

a) NETEISINGAI. A nėra B, nes 1 elementas nėra A dalis.

b) NETEISINGAI. A nėra B, nes 2 elementas nėra B dalis.

c) NETEISINGAI. A nepriklauso B, nes aibės turi aiškų elementą.

d) TEISINGA. Rinkinių sujungimas atitinka juos sudarančių elementų sujungimą ir yra simbolis .

Todėl A = {2, 3, 5, 7} ir B = {1, 3, 5, 7} jungtis yra A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.

5 klausimas

Nubraižykite rinkinius A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} ir C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} Venno diagramoje ir tada nustatykite:

a) A B
b) C B
c) C - A
d) B ( Ç)

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} ir
d) {1, 3, 5, 6, 7}.

Paskirstydami aibės elementus Venno diagramoje, turime:

Atlikdami operacijas su pateiktais rinkiniais, turime šiuos rezultatus:

a) A B = {1, 6, 7}

Rinkinių susikirtimo vaizdavimas Venno diagramoje

b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

Rinkinių sąjungos vaizdavimas Venno diagramoje

c) C - A = {-5, 2, 3, 5}

Skirtumo tarp aibių pavaizdavimas Venno diagramoje

d) B ( C) = {1, 3, 5, 6, 7}

6 klausimas

Atkreipkite dėmesį į išperintą figūros plotą ir pažymėkite jį vaizduojančią alternatyvą.

a) C ( B)
b) C - (A B)
c) C (A - B)
d) C ( B)

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: b) C - (A B)

Atkreipkite dėmesį, kad išperinti plotai žymi elementus, nepriklausančius A ir B rinkiniams. Todėl tai yra skirtumas tarp rinkinių, kurį nurodome (-).

Kadangi rinkiniai A ir B turi tą pačią spalvą, galime sakyti, kad yra aibių sąjungos, ty A ir B elementų, atstovaujamų A, sujungimas B.

Todėl galime pasakyti, kad išperinti plotai yra C skirtumas nuo A ir B jungties, tai yra, C - (A B).

7 klausimas

Ikimokykliniame kurse yra 600 studentų, studijuojančių atskirus dalykus. Matematikos mokosi 300 mokinių, portugalų kalbos mokosi 200, o šių dalykų nelanko 150 mokinių.

Atsižvelgdami į studentus, dalyvaujančius kurse (U), studentus, besimokančius matematikos (M), ir studentus, kurie mokosi portugalų kalbos (P), nustatykite:

a) matematikos ar portugalų studentų skaičius
b) matematikos ir portugalų studentų skaičius

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas:

a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50

a) į prašomą studentų skaičių įeina ir matematikos, ir portugalų studentai. Todėl turime surasti dviejų rinkinių sąjungą.

Rezultatą galima apskaičiuoti atėmus bendrą mokinių skaičių mokykloje iš mokinių, nelaikančių šių dalykų, skaičiaus.

n (M. P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450

b) kadangi prašomas rezultatas yra studentų, studijuojančių matematiką ir portugalų kalbą, turime rasti aibių susikirtimą, tai yra elementus, bendrus abiem aibėms.

Dviejų rinkinių susikirtimą galime apskaičiuoti pridedant mokinių, įtrauktų į dalykus, skaičių Portugalų ir matematikos, o tada atimama studentų, studijuojančių šiuos du dalykus tuo pačiu metu, skaičius laikas.

n (M. P) = n (M) + n (P) - n (M P) = 300 + 200 - 450 = 50

8 klausimas

Skaitmeninius rinkinius sudaro šie rinkiniai: Naturals (ℕ), Sveikieji skaičiai (ℤ), Rationals (ℚ), Iracionalieji (I), Reals (ℝ) ir Kompleksai (ℂ). Ant minėtų rinkinių pažymėkite apibrėžimą, kuris atitinka kiekvieną iš jų.

1. natūralieji skaičiai	() apima visus skaičius, kuriuos galima užrašyti trupmena, su sveikojo skaičiaus skaitikliu ir vardikliu.
2. sveikieji skaičiai	() atitinka racionaliųjų iracionaliųjų sąjungą.
3. racionalūs numeriai	() yra dešimtainiai, begaliniai ir neperiodiniai skaičiai ir negali būti atvaizduojami neskaidomomis trupmenomis.
4. iracionalūs skaičiai	() susidaro iš skaičių, kuriuos naudojame skaičiuose {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
5. tikrieji skaičiai	() apima √-n tipo šaknis.
6. Sudėtingi skaičiai	() renka visus natūraliųjų skaičių elementus ir jų priešingybes.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) racionalūs numeriai padengti visus skaičius, kuriuos galima užrašyti trupmena, su sveikojo skaičiumi ir vardikliu. Į šį rinkinį įeina netikslios dalybos. ℚ = {x = a / b, su ∈ ℤ, b ∈ ℤ ir b ≠ 0}

(5) tikrieji skaičiai atitinka racionaliųjų sąjungą su iracionaliaisiais, tai yra = ℚ ∪ I.

(4) iracionalūs skaičiai jie yra dešimtainiai, begaliniai ir neperiodiniai skaičiai ir negali būti atvaizduojami neskaidomomis trupmenomis. Skaičiai šioje grupėje atsiranda iš operacijų, kurių rezultato nebuvo galima užrašyti kaip trupmeną. Pavyzdžiui, √ 2.

(1) natūralieji skaičiai susidaro iš skaičių, kuriuos naudojame skaičiuose ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.

(6) kompleksiniai skaičiai apima √-n tipo šaknis ir realiųjų skaičių pratęsimą.

(2) Sveiki skaičiai sujungti visus natūraliųjų skaičių elementus ir jų priešingybes. Kad būtų galima išspręsti visus atimimus, pvz., 7–10, natūraliųjų rinkinys buvo išplėstas, taigi atsirado sveikųjų skaičių aibė. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

9 klausimas

(UNB pritaikytas) Iš 200 žmonių, kurie buvo apklausti apie jų pageidavimus žiūrint lenktynių čempionatus per televiziją, buvo surinkti šie duomenys:

• 55 respondentai nežiūri;
• 101 „Formulės 1“ lenktynės;
• 27 stebi „Formulės 1“ ir „Motociklų“ lenktynes;

Kiek apklaustų žmonių stebi tik motociklų varžybas?

a) 32
b) 44
c) 56
d) 28

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: b) 44.

1 žingsnis: nustatykite bendrą žmonių, stebinčių lenktynes, skaičių

Tam mums tiesiog reikia atimti bendrą respondentų skaičių iš tų, kurie pareiškė nedalyvaujantys lenktynių čempionatuose.

200 - 55 = 145 žmonės

2 žingsnis: apskaičiuokite žmonių, kurie stebi tik motociklų lenktynes, skaičių

74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71

Iš dviejų rinkinių sankirtos atėmus x vertę, randame respondentų, kurie tik stebi motociklų greičio lenktynes, skaičių.

71 - 27 = 44

10 klausimas

(UEL-PR) Tam tikru laiku trys televizijos kanalai savo programoje turėjo muilo operas geriausiu laiku: muilo opera A kanale A, muilo opera B kanale B ir muilo opera C kanale C. Apklausus 3000 žmonių, buvo klausiama, kurios muilo operos jiems patinka. Žemiau esančioje lentelėje nurodomas žiūrovų, kurie muilo operas pavadino maloniomis, skaičius.

Muilo operos	Žiūrovų skaičius
	1450
B	1150
Ç	900
A ir B	350
A ir C	400
B ir C	300
A, B ir C	100

Kiek apklaustų žiūrovų nė viena iš trijų muilo operų nemaloni?
a) 300 žiūrovų.
b) 370 žiūrovų.
c) 450 žiūrovų.
d) 470 žiūrovų.
e) 500 žiūrovų.

Žr. Atsakymas

Teisingas atsakymas: c) 450 žiūrovų.

Yra 450 žiūrovų, kuriems nė vienas iš trijų telenovelių nėra malonus.

Sužinokite daugiau, skaitydami šiuos tekstus:

• Rinkinių teorija
• Operacijos su rinkiniais
• Skaitmeniniai rinkiniai
• Skaitmeninių rinkinių pratimai