Sudėtingi skaičiai: apibrėžimas, operacijos ir pratimai

Kompleksiniai skaičiai yra skaičiai, susidedantys iš realios ir įsivaizduojamos dalies.

Jie reiškia visų sutvarkytų porų (x, y) rinkinį, kurių elementai priklauso realiųjų skaičių aibei (R).

Kompleksinių skaičių rinkinį žymi Ç ir apibrėžtas operacijomis:

Lygybė: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ir b = d
Papildymas: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
Dauginimas: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Įsivaizduojamas vienetas (i)

Nurodytas laišku i, įsivaizduojamas vienetas yra sutvarkyta pora (0, 1). Netrukus:

i. i = -1 ↔ i² = –1

Taigi, i yra kvadratinė šaknis –1.

Algebrinė Z forma

Algebrinė Z forma naudojama norint pateikti sudėtingą skaičių naudojant formulę:

Z = x + yi

Kur:

x yra tikrasis skaičius, nurodytas x = Re (Z), iškviečiamas tikroji z dalis.
y yra tikrasis skaičius, nurodytas y = Im (Z), vadinamas įsivaizduojama Z dalis.

Sudėtinis skaičių konjugatas

Kompleksinio skaičiaus konjugatas nurodomas z, apibrėžta z = a - bi. Taigi keičiamasi jos įsivaizduojamos dalies ženklu.

Taigi, jei z = a + bi, tada z = a - bi

Kai kompleksinį skaičių padauginsime iš jo konjugato, rezultatas bus realus skaičius.

instagram story viewer

Sudėtingų skaičių lygybė

Yra du kompleksiniai skaičiai Z₁= (a, b) ir Z₂ = (c, d), jie yra lygūs, kai a = c ir b = d. Taip yra todėl, kad jie turi identiškas tikras ir įsivaizduojamas dalis. Taigi:

a + bi = c + di Kada a = c ir b = d

Operacijos su sudėtingais skaičiais

Su sudėtingais skaičiais galima atlikti susiejimo, atimties, daugybos ir padalijimo operacijas. Peržiūrėkite toliau pateiktus apibrėžimus ir pavyzdžius:

Papildymas

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

Algebrine forma mes turime:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Pavyzdys:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2–4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Atimtis

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

Algebrine forma mes turime:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Pavyzdys:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4–2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Dauginimas

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Algebrine forma mes naudojame skirstomąją savybę:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Pavyzdys:

(4 + 3i). (2–5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Skyrius

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

Esant aukščiau lygybei, jei Z₃ = x + yi, mes turime:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Pagal nežinomųjų x ir y sistemą turime:

cx - dy = a
dx + cy = b

Netrukus

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Pavyzdys:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Stojamojo egzamino pratimai su grįžtamuoju ryšiu

1. (UF-TO) Apsvarstykite i įsivaizduojamas kompleksinių skaičių vienetas. Reikšmė išraišką (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Žr. Atsakymas

C alternatyva: 16

2. (UEL-PR) Kompleksinis skaičius z, kuris patikrina iz - 2w (1 + i) = 0 (w rodo, kad z) konjugatas yra:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Žr. Atsakymas

E alternatyva: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Apsvarstykite kompleksinį skaičių z = cos π / 6 + i sin π / 6. z reikšmė³ + Z⁶ + Z¹² é:

ten
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Žr. Atsakymas

D alternatyva: i

Peržiūrėkite daugiau klausimų su komentuojamu sprendimu Pratimai sudėtingais skaičiais.

Vaizdo pamokos

Norėdami išplėsti savo žinias apie sudėtingus skaičius, žiūrėkite vaizdo įrašą "Įvadas į sudėtingus skaičius"

Įvadas į sudėtinius skaičius

Kompleksinių skaičių istorija

Kompleksiniai skaičiai buvo atrasti XVI amžiuje matematiko Girolamo Cardano (1501-1576) indėlio dėka.

Tačiau tik XVIII amžiuje šiuos tyrimus įformino matematikas Carlas Friedrichas Gaussas (1777–1855).

Tai buvo svarbus matematikos žingsnis į priekį, nes neigiamas skaičius turi kvadratinę šaknį, kuri iki sudėtingų skaičių atradimo buvo laikoma neįmanoma.

Norėdami sužinoti daugiau, taip pat žiūrėkite