trikampio panašumas yra naudojamas nežinomam vieno trikampio matui surasti žinant kito trikampio matus.
Kai du trikampiai yra panašūs, jų atitinkamų kraštų matmenys yra proporcingi. Šis ryšys naudojamas sprendžiant daugelį geometrijos problemų.
Taigi, pasinaudokite komentuotais ir išspręstais pratimais, kad išspręstumėte visas abejones.
Klausimai išspręsti
1) Jūrininko mokinys - 2017 m
Žiūrėkite paveikslėlį žemiau
Pastatas tą pačią akimirką meta ant žemės 30 m ilgio šešėlį, kaip 6 m ūgio žmogus - 2,0 m šešėlį. Galima sakyti, kad pastato aukštis yra vertas
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Galime manyti, kad pastatas, jo projektuojamas šešėlis ir saulės spindulys sudaro trikampį. Taip pat turime trikampį, kurį sudaro asmuo, jo šešėlis ir saulės spindulys.
Atsižvelgiant į tai, kad saulės spinduliai yra lygiagretūs ir kad kampas tarp pastato ir žemės bei žmogaus yra žemė lygi 90º, trikampiai, nurodyti toliau pateiktame paveikslėlyje, yra panašūs (du kampai lygu).
Kadangi trikampiai yra panašūs, galime parašyti tokią proporciją:
Alternatyva: a) 27 m
2) „Fuvest“ - 2017 m
Paveiksle stačiakampis ABCD turi kraštus, kurių ilgis AB = 4 ir BC = 2. Tegu M yra šono vidurio taškas ir N šono vidurio taškas
. Segmentai
perimti atkarpą
atitinkamai taškuose E ir F.
Trikampio AEF plotas yra lygus
Trikampio AEF plotą galima rasti sumažinus trikampio ABE plotą nuo trikampio AFB ploto, kaip parodyta žemiau:
Pradėkime nuo AFB trikampio ploto radimo. Tam turime išsiaiškinti šio trikampio aukščio vertę, nes bazinė vertė yra žinoma (AB = 4).
Atkreipkite dėmesį, kad trikampiai AFB ir CFN yra panašūs, nes jie turi du vienodus kampus (atvejis AA), kaip parodyta toliau pateiktame paveikslėlyje:
Apskaičiuokime aukštį H1, palyginti su kraštine AB, trikampyje AFB. Kadangi kraštinės CB matas yra lygus 2, galime manyti, kad santykinis kraštinės NC aukštis trikampyje FNC yra lygus 2 - H1.
Tada galime parašyti šią proporciją:
Žinodami trikampio aukštį, galime apskaičiuoti jo plotą:
Norėdami rasti trikampio ABE plotą, taip pat turėsite apskaičiuoti jo aukščio vertę. Tam naudosime tai, kad ABM ir AOE trikampiai, nurodyti žemiau esančiame paveikslėlyje, yra panašūs.
Be to, trikampis OEB yra stačiasis trikampis, o kiti du kampai yra lygūs (45º), taigi tai yra lygiašonis trikampis. Taigi, dvi šio trikampio kojos yra vertos H2, kaip paveikslėlyje žemiau:
Taigi trikampio AOE kraštinė AO lygi 4 - H2. Remdamiesi šia informacija galime nurodyti šią proporciją:
Žinodami aukščio vertę, dabar galime apskaičiuoti trikampio ABE plotą:
Taigi trikampio AFE plotas bus lygus:
Alternatyva: d)
3) Cefet / MG - 2015 m
Šioje iliustracijoje pavaizduotas stačiakampis biliardo stalas, kurio plotis ir ilgis yra atitinkamai 1,5 ir 2,0 m. Žaidėjas turi išmesti baltą kamuolį iš taško B ir pataikyti į juodą kamuolį į tašką P, nepataikydamas į kitą. Kadangi geltonasis yra taške A, šis žaidėjas išmes baltą kamuolį į tašką L, kad jis galėtų atšokti ir atsitrenkti į juodąjį.
Jei kamuolio kritimo kelio kampas stalo šone ir atšokimo kampas yra vienodi, kaip parodyta paveiksle, tada atstumas nuo P iki Q, cm, yra maždaug
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Žemiau esančiame paveikslėlyje raudonai pažymėti trikampiai yra panašūs, nes turi du vienodus kampus (kampas lygus α ir kampas lygus 90º).
Todėl galime parašyti tokią proporciją:
Alternatyva: a) 67
4) Karo kolegija / RJ - 2015 m
Trikampyje ABC taškai D ir E priklauso atitinkamai kraštinėms AB ir AC ir yra tokie, kad DE / / BC. Jei F yra AB taškas, kurio EF / / CD ir AF bei FD e matavimai yra atitinkamai 4 ir 6, segmento DB matavimas yra:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Mes galime pavaizduoti trikampį ABC, kaip parodyta žemiau:
Kadangi segmentas DE yra lygiagretus BC, trikampiai ADE ir ABC yra panašūs tuo, kad jų kampai sutampa.
Tada galime parašyti šią proporciją:
Trikampiai FED ir DBC taip pat yra panašūs, nes FE ir DC segmentai yra lygiagretūs. Taigi taip pat galioja ši proporcija:
Išskyrus y šioje proporcijoje, mes turime:
Pirmosios lygybės y vertės pakeitimas:
Alternatyva: a) 15
5) Eparas - 2016 m
Stačiojo trikampio formos žemė bus padalinta į dvi dalis tvora, padaryta ant hipotenūzo puslankio, kaip parodyta paveikslėlyje.
Yra žinoma, kad šio reljefo kraštinės AB ir BC matuoja atitinkamai 80 m ir 100 m. Taigi santykis tarp I partijos perimetro ir II partijos perimetro ta tvarka yra
Norėdami sužinoti santykį tarp perimetrų, turime žinoti visų I ir II paveikslų pusių vertę.
Atkreipkite dėmesį, kad hipotenuzės pusiaukampis dalija BC pusę į du sutampančius segmentus, todėl CM ir MB segmentai yra 50 m.
Kadangi trikampis ABC yra stačiakampis, galime apskaičiuoti kraštinę AC, naudodami Pitagoro teoremą. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad šis trikampis yra Pitagoro trikampis.
Taigi hipotenuzė lygi 100 (5. 20), o viena koja lygi 80 (4,20), tada kita koja gali būti lygi tik 60 (3,20).
Mes taip pat nustatėme, kad trikampiai ABC ir MBP yra panašūs (AA atvejis), nes jie turi bendrą kampą, o kitas yra lygus 90º.
Taigi, norėdami rasti x vertę, galime parašyti šią proporciją:
Z reikšmę galima rasti atsižvelgiant į proporciją:
Taip pat galime rasti y vertę atlikdami:
Dabar, kai žinome visas puses, galime apskaičiuoti perimetrus.
I paveikslo perimetras:
II paveikslo perimetras:
Todėl santykis tarp perimetrų bus lygus:
Alternatyva: d)
6) Priešas - 2013 m
Ūkio savininkas nori padėti atraminį strypą, kad būtų geriau pritvirtinti du stulpai, kurių ilgis lygus 6 m ir 4 m. Paveiksle pavaizduota reali situacija, kai stulpai apibūdinami segmentais AC ir BD bei strypu yra EF segmentas, statmenas žemei, kurį rodo tiesios atkarpos AB. AD ir BC segmentai reiškia plieninius kabelius, kurie bus montuojami.
Kokia turėtų būti strypo ilgio EF vertė?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m
Norėdami išspręsti problemą, pavadinkime stiebo aukštį kaip z ir AF bei FB segmentų matavimai x ir y, atitinkamai, kaip parodyta žemiau:
Trikampis ADB yra panašus į trikampį AEF tuo, kad abiejų kampas yra lygus 90 ° ir bendras kampas, todėl AA atveju jie yra panašūs.
Todėl galime parašyti tokią proporciją:
Padauginę „kryžiuje“, gauname lygybę:
6x = h (x + y) (I)
Kita vertus, trikampiai ACB ir FEB taip pat bus panašūs dėl tų pačių priežasčių, pateiktų aukščiau. Taigi mes turime proporciją:
Sprendimas tuo pačiu būdu:
4y = h (x + y) (II)
Atkreipkite dėmesį, kad (I) ir (II) lygtys turi tą pačią išraišką po lygybės ženklo, todėl galime pasakyti, kad:
6x = 4m
X reikšmės pakeitimas antroje lygtyje:
Alternatyva: c) 2,4 m
7) „Fuvest“ - 2010 m
Paveiksle trikampis ABC yra stačiakampis, o kraštinės BC = 3 ir AB = 4. Be to, taškas D priklauso raktikauliui. , taškas E, priklausantis raktikauliui
o taškas F priklauso hipotenuzei
, toks, kad DECF yra lygiagretainis. jei
, todėl verta DECF lygiagretainio ploto
Lygiagretainio plotas randamas padauginus bazinę vertę iš aukščio. Pavadinkime h aukštį ir x pagrindinį matą, kaip parodyta žemiau:
Kadangi DECF yra lygiagretainis, jo kraštai yra lygiagretūs po du. Tokiu būdu kraštinės AC ir DE yra lygiagrečios. Taigi kampai Jie yra vienodi.
Tada galime nustatyti, kad trikampiai ABC ir DBE yra panašūs (atvejis AA). Mes taip pat turime, kad trikampio ABC hipotenuzė lygi 5 (trikampis 3,4 ir 5).
Tokiu būdu parašykime tokią proporciją:
Norėdami rasti bazės matą x, atsižvelgsime į šią proporciją:
Apskaičiuodami lygiagretainio plotą, turime:
Alternatyva: a)