Tiesos lentelė arba tiesos lentelė yra matematinė priemonė, plačiai naudojama loginio samprotavimo srityje. Jo tikslas yra patikrinti loginį sudėtinio teiginio pagrįstumą (argumentą sudaro du ar daugiau paprastų teiginių).
Sudėtinių pasiūlymų pavyzdžiai:
- Jonas yra aukštas ir Marija yra trumpa.
- Petras yra aukštas arba Joana yra šviesiaplaukė.
- jei Petras yra aukštas, tada Joan yra raudonplaukė.
Kiekvienas iš aukščiau pateiktų sudėtinių teiginių yra sudarytas iš dviejų paprastų teiginių, sujungtų drąsiomis jungtimis. Kiekvienas paprastas teiginys gali būti teisingas arba klaidingas, ir tai tiesiogiai reikš loginę sudėtinio teiginio vertę. Jei perimsime frazę „Jonas yra aukštas, o Marija - ūgio“, Galimi šios ataskaitos vertinimai bus:
- Jei Jonas yra aukštas, o Marija - ūgio neturinti, frazė „Jonas yra aukštas, o Marija - žema“ yra TIESA.
- Jei Jonas yra aukštas, o Marija nėra žema, frazė „Jonas yra aukštas, o Marija - žemas“ yra NETIESA.
- Jei Jonas nėra aukštas, o Marija - ūgio neturinti, frazė „Jonas aukštas, o Marija - žemas“ yra NETIESA.
- Jei Jonas nėra aukštas, o Marija nėra žema, frazė „Jonas yra aukštas, o Marija - žemas“ yra NETIESA.
Tiesos lentelėje pateikiamas tas pats samprotavimas (žr Sąsaja žemiau) tiesiogiai. Be to, gali būti taikomos tiesos lentelės taisyklės. neatsižvelgiant į teiginių skaičių sakinyje.
Kaip tai veikia?
Pirmiausia paverskite klausimo teiginius logikoje naudojamais simboliais. Visuotinai naudojamų simbolių sąrašas yra:
| Simbolis | Loginė operacija | Reikšmė | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| P | . | 1 pasiūlymas | p = Jonas yra aukštas. |
| ką | . | 2 pasiūlymas | q = Marija yra trumpa. |
| ~ | Neigimas | ne | Jei Jonas yra aukštas "~ p" tai netikra. |
| ^ | Sąsaja | ir | P^ką = Jonas yra aukštas, o Marija - ūgio. |
| v | Disjunkcija | arba | Pvq = Jonas yra aukštas arba Marija yra žemas. |
| → | Sąlyginis | jei tada | P→ką = Jei Jonas yra aukštas, tada Marija yra maža. |
| ↔ | dviejų sąlygų | Jeigu, ir tik jeigu | P↔q = Jonas yra aukštas tik tada, jei Marija yra žema. |
Tada surenkama lentelė su visomis sudėtinio pasiūlymo vertinimo galimybėmis, teiginius pakeičiant simboliais. Verta patikslinti, kad tais atvejais, kai yra daugiau nei du pasiūlymai, juos gali simbolizuoti raidės r, s, ir taip toliau.
Galiausiai taikoma loginė operacija, apibrėžta parodytos jungties. Kaip išvardyta aukščiau, šios operacijos gali būti: neigimas, jungtukas, disjunkcija, sąlyginis ir dviprasmis.
Neigimas
Neigimą simbolizuoja ~. Loginė neigimo operacija yra paprasčiausia ir dažnai nereikia naudoti tiesos lentelės. Sekant tuo pačiu pavyzdžiu, jei Jonas yra aukštas (p), sakydamas, kad Jonas nėra aukštas (~ p), yra NETIESA, ir atvirkščiai.
Sąsaja
Jungtis simbolizuojama ^. Pavyzdys „Jonas yra aukštas, o Marija - žema“ simbolizuos „p^q "ir tiesos lentelė bus:
Junginys siūlo kaupimo idėją, taigi, jei vienas iš paprastų teiginių yra klaidingas, neįmanoma, kad sudėtinis teiginys būtų teisingas.
Išvada: jungiamojo junginio teiginiai (kuriuose yra jungiamasis junginys) ir) bus teisinga tik tada, kai visi jos elementai bus teisingi.
Pavyzdys:
- Paulo, Renato ir Túlio yra malonūs, o Karolina - juokinga. - Jei Paulo, Renato ar Túlio nėra malonūs ar Karolina nėra juokinga, pasiūlymas bus NETIESA. Tai būtina visi informacija yra teisinga, kad sudėtinis teiginys būtų TIESA.
Disjunkcija
Disjunkciją simbolizuoja v. Jungties keitimas iš aukščiau pateikto pavyzdžio į arba mes turėsime „Jonas yra aukštas arba Marija yra žemas“. Tokiu atveju frazę simbolizuos „pvq "ir tiesos lentelė bus:
Atskyrimas reiškia kaitos idėją, todėl pakanka, kad vienas iš paprastų teiginių būtų teisingas, kad ir sudėtinis būtų teisingas.
Išvada: disjunkciniai junginio teiginiai (kuriuose yra jungiamasis junginys) arba) bus klaidinga tik tada, kai visi jos elementai bus klaidingi.
Pavyzdys:
- Mano mama, tėtis ar dėdė man padovanos dovaną. - Kad teiginys būtų TIKRAS, pakanka, kad dovaną dovanoja tik vienas iš motinos, tėvo ar dėdės. Pasiūlymas bus melagingas tik tuo atveju, jei nė vienas iš jų jo nepateiks.
Sąlyginis
Sąlyginį simbolizuoja →. Tai išreiškia jungiamieji jei ir tada, kurie sieja paprastus teiginius priežastiniame ryšyje. Pavyzdys „Jei Paulo yra iš Rio de Žaneiro, tai jis yra brazilas“, tampa p→q "ir tiesos lentelė bus:
Sąlyginiai turi ankstesnį ir pasekminį teiginį, atskirtas jungiamuoju tada. Analizuojant sąlyginius, būtina įvertinti, kuriais atvejais pasiūlymas tai gali būti įmanoma, atsižvelgiant į implikacijos ryšį tarp ankstesnio ir pasekminio.
Išvada: Sąlyginiai junginiai (kuriuose yra jungiamųjų junginių jei ir tada) bus klaidinga tik tada, jei pirmasis teiginys yra teisingas, o antrasis - klaidingas.
Pavyzdys:
- Jei Paulo yra iš Rio, tai jis yra brazilas. - Kad šis pasiūlymas būtų laikomas TIKRU, būtina įvertinti atvejus, kai tai yra GALIMA. Pagal aukščiau pateiktą tiesos lentelę turime:
- Paulo yra iš Rio / Paulo yra brazilas = GALIMA
- Paulo yra iš Rio de Žaneiro / Paulo nėra brazilas = NEĮMANOMAS
- Paulo nėra iš Rio / Paulo yra brazilas = GALIMA
- Paulo nėra karioka / Paulo nėra brazilas = GALIMA
dviejų sąlygų
Dvisąlygį simbolizuoja ↔. Jis skaitomas per jungiamąsias dalis jei ir tik jeigu, kurie susieja paprastus teiginius ekvivalentiškumo santykyje. Pavyzdys „Jonas džiaugiasi, jei ir tik tuo atveju, jei Marija šypsosi“. tampa „p↔q "ir tiesos lentelė bus:
Biconditionals siūlo tarpusavio priklausomybės idėją. Kaip rodo pavadinimas, dvilypę sąlygą sudaro du sąlyginiai: vienas, prasidedantis nuo P dėl ką (P→q) ir kita priešinga kryptimi (q→P).
Išvada: At dvisąlyginiai junginiai, turintys jungčių jei ir tik jeigu) bus teisingi tik tada, kai visi teiginiai yra teisingi arba visi teiginiai yra melagingi.
Pavyzdys:
- João džiaugiasi tik tuo atveju, jei Marija šypsosi. - Reiškia pasakyti:
- Jei Jonas laimingas, Marija šypsosi, o jei Marija šypsosi, Jonas yra laimingas = TIKRAS
- Jei Jonas nėra laimingas, Marija nesišypso, o jei Marija nesišypso, Jonas nėra laimingas = TIKRAS
- Jei João yra laimingas, Maria nesišypso = NETIESA
- Jei João nėra laimingas, Maria šypsosi = NETIESA
Apžvalga
Įprasta, kad tiesos lentos mokslininkai įsimena kiekvienos loginės operacijos išvadas. Norėdami sutaupyti laiko spręsdami problemas, visada turėkite omenyje, kad:
- Jungiamieji teiginiai: Jie bus teisingi tik tada, kai visi elementai bus teisingi.
- Atskiriamieji teiginiai: Tai bus klaidinga tik tada, kai visi elementai bus klaidingi.
- Sąlyginiai teiginiai: Jie bus klaidingi tik tada, kai pirmasis teiginys bus teisingas, o antrasis - klaidingas.
- Dviejų sąlygų pasiūlymai: Tai bus tiesa tik tada, kai visi elementai yra teisingi arba visi elementai yra klaidingi.