Puslankio trigonometrinės funkcijos

At trigonometrinės funkcijoslanko pusės sinusą, kosinusą ir liestinę galima gauti iš trigubos lanko trigonometrinių funkcijų.

Duota mato lankas $\ dpi {120} \ alfa$ , dvigubas lankas yra lankas $\ dpi {120} 2 \ alfa$ puslankis yra lankas $\ dpi {120} \ alfa / 2$ .

Iki dvi lanko pridėjimo formulės, mes turime dvigubo lanko trigonometrines funkcijas:

Sinusas:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = nuodėmė \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alfa} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosinusas:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - nuodėmė \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangentas:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - įdegis \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alfa }}}$

Iš šių formulių parodysime formules pusės lanko trigonometrinės funkcijos.

Puslankio trigonometrinės funkcijos

Vienas iš pagrindiniai trigonometrijos santykiai ar tai:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Kur mes gauname:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

pakeisdamas $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ dvigubo lanko kosinuso formulėje turime:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alfa}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alfa} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alfa})}$

Peržiūrėkite keletą nemokamų kursų

Nemokamas internetinis įtraukiojo švietimo kursas
Nemokama internetinė žaislų biblioteka ir mokymosi kursai
Nemokami internetiniai matematikos žaidimų ankstyvojo ugdymo kursai
Nemokami internetiniai pedagoginių kultūros dirbtuvių kursai

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Todėl: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 2cos ^ 2 \, {\ alfa} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alfa)} {2}}$

pakeisdamas $\ dpi {120} \ alfa$ už $\ dpi {120} \ alfa / 2$ aukščiau pateiktoje formulėje ir išgaunant kvadratinę šaknį iš abiejų pusių, turime formulę lanko pusės kosinusas:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Pastaba: Formulėje esantis ženklas bus teigiamas arba neigiamas pagal lanko pusės kvadrantą.

instagram story viewer

Dabar keičia $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ dvigubo lanko kosinuso formulėje turime:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alfa}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Todėl:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alfa)} {2}}$

pakeisdamas $\ dpi {120} \ alfa$ už $\ dpi {120} \ alfa / 2$ aukščiau pateiktoje formulėje ir išgaunant kvadratinę šaknį iš abiejų pusių, turime formulę lanko pusė sinuso:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Pastaba: Formulėje esantis ženklas bus teigiamas arba neigiamas pagal lanko pusės kvadrantą.

Galiausiai galime gauti lanko pusės liestinę, padalydami lanko pusės sinusą iš lanko pusės kosinuso:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alfa}}}$

Todėl formulė pusės lanko liestinė é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Pastaba: Formulėje esantis ženklas bus teigiamas arba neigiamas pagal lanko pusės kvadrantą.

Galbūt jus taip pat domina:

trigonometrinis apskritimas
trigonometrinė lentelė
Trigonometriniai santykiai
nuodėmių įstatymas
kosinuso įstatymas

Slaptažodis išsiųstas į jūsų el. Paštą.

Puslankio trigonometrinės funkcijos

Puslankio trigonometrinės funkcijos

Ikikolumbinė Amerika

Tiesus, pusiau tiesus ir tiesus segmentas

Barackas Obama: pirmasis šalies juodas prezidentas