Mes įkūrėme a užsiėmimas kai siejame vieną ar kelis dydžius. Dalis gamtos reiškinių gali būti tiriama šios matematikos srities raidos dėka. Funkcijų tyrimas yra padalintas į dvi dalis, mes turime bendrąją dalį, kurioje mes tiriame koncepcijosbendras, ir konkrečią dalį, kurioje mes tiriame konkrečiais atvejais, tokias kaip daugianario funkcijos ir eksponentinės funkcijos.
Taip pat žiūrėkite: Kaip pavaizduoti funkciją?
Kas yra funkcijos?
Funkcija yra programa, kuri sieja dviejų elementus rinkiniai ne tuščias. Apsvarstykite dvi ne tuščias aibes A ir B, kur funkcija f susieti kiekvienas elementas nuo A iki tik vienas B elementas
Norėdami geriau suprasti šį apibrėžimą, įsivaizduokite kelionę taksi. Kiekvienai kelionei, tai yra už kiekvieną įveiktą atstumą, yra skirtinga ir unikali kaina, tai yra, nėra prasmės kelionei turėti dvi skirtingas kainas.
Mes galime pavaizduoti šią funkciją, kurios elementai iš rinkinio A pereina į rinkinį B šiais būdais.
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienam A rinkinio elementui yra a
vienas susijęs elementas su juo rinkinyje B. Dabar mes galime pagalvoti, kada santykis tarp dviejų aibių nebus funkcija? Na, kai aibės A elementas yra susijęs su dviem atskirais B elementais arba kai yra aibės A elementų, kurie nėra susiję su B elementais. Pažvelk:
Apskritai, funkciją galime parašyti taip algebriškai:
f: A → B
x → y
Atkreipkite dėmesį, kad funkcija perima elementus iš rinkinio A (žymima x) ir perkelia juos į B elementus (žymima y). Taip pat galime pasakyti, kad aibės B elementai pateikiami atsižvelgiant į A rinkinio elementus, taigi mes galime atstovauti y:
y = fx)
Jis rašo: (y yra lygus x x)
Domenas, bendrasis domenas ir vaidmens vaizdas
Kai turime vaidmenį f, susijusiems rinkiniams suteikiami specialūs pavadinimai. Taigi apsvarstykite funkciją f kuris perkelia elementus iš rinkinio A į elementus iš rinkinio B:
f: A → B
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
A rinkinys, nuo kurio santykiai nukrypsta, vadinamas domenas funkcijos, o rinkinys, kuris gauna šio ryšio „rodykles“ priešinis domenas. Šiuos rinkinius žymime taip:
Df = A → Domenas f
Kompaktinis diskasf = B → priešinis domenas f
Vadinamas funkcijos, sudarytos iš elementų, susijusių su aibės elementais, kontrerdomeno pogrupis Vaizdas funkcijos ir žymimas:
ašf → Vaizdas f
- Pavyzdys
Apsvarstykite funkciją f: A → B, pateiktą toliau pateiktoje diagramoje, ir nustatykite domeną, priešinį domeną ir vaizdą.
Kaip sakyta, aibė A = {1, 2, 3, 4} yra funkcijos sritis f, o aibė B = {0, 2, 3, –1} yra tos pačios funkcijos priešdomenas. Dabar atkreipkite dėmesį, kad rinkinys, sudarytas iš elementų, gaunančių rodyklę (oranžine spalva), kurią sudaro elementai {0, 2, -1}, yra priešdomeno B pogrupis, šis rinkinys yra funkcijos vaizdas f, taip:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
Kompaktinis diskasf = B = {0, 2, 3, -1}
ašf = {0, 2, –1}
Mes sakome, kad 0 yra elemento vaizdas 1 domeno, taip pat 2 tai elementų vaizdas 2 ir 3 domeno ir –1 yra elemento vaizdas 4 domeno. Norėdami sužinoti daugiau apie šias tris sąvokas, skaitykite: Ddomenas, bendrasis domenas ir vaizdas.
Surjektyvi funkcija
Funkcija f: A → B bus surjektyvus arba surjektyvus, jei ir tik tuo atveju, jei vaizdo rinkinys sutampa su priešiniu domenu, tai yra, jei visi kontradomeno elementai yra vaizdai.
Tada sakome, kad funkcija yra surjektyvi, kai visi priešdomeno elementai gauna rodykles. Jei norite gilintis į tokio tipo funkcijas, apsilankykite mūsų tekste: „Overjet“ funkcija.
Injekcinė funkcija
Funkcija f: A → B bus injekcinis ar injekcinis, jei ir tik tuo atveju, jei skirtingi domeno elementai turi skirtingus vaizdus priešdomene, t. panašius vaizdus generuoja panašūs domeno elementai.
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyga yra ta, kad skirtingi domeno elementai yra susiję su skirtingais priešdomeno elementais, todėl nėra problemų su likusiais priešdomeno elementais. Norėdami geriau suprasti šią sąvoką, galite perskaityti tekstą: Inžektoriaus funkcija.
Bijektoriaus funkcija
Funkcija f: A → B bus bijektyvus, jei ir tik taip injektorius ir surjektorius vienu metu, tai yra, skirtingi domeno elementai turi skirtingus vaizdus, o vaizdas sutampa su priešiniu domenu.
- Pavyzdys
Kiekvienu atveju pagrįskite, ar funkcija f (x) = x2 tai injektorius, surjektorius arba bijektorius.
) f: ℝ+ → ℝ
Atkreipkite dėmesį, kad visos funkcijos sritis yra teigiama realioji vertė, o priešinis - visi realieji skaičiai. Mes žinome, kad funkciją f suteikia f (x) = x2, dabar įsivaizduokite visus teigiamus realiuosius skaičius aukštas kvadratu, visi vaizdai taip pat bus teigiami. Taigi galime daryti išvadą, kad funkcija yra injekcinė, o ne surjektyvi, nes neigiami realieji skaičiai rodyklių negaus.
Tai švirkščiama kaip kiekvienas domeno elementas (ℝ+) yra susijęs tik su vienu priešinio domeno elementu (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Šiuo atveju funkcija turi domeną kaip visas realias, o kontrdomenas - kaip teigiamas tikroves. Mes žinome, kad bet koks tikrasis skaičius, išreikštas kvadratu, yra teigiamas, todėl visi priešdomeno elementai gavo rodykles, todėl funkcija yra surjektyvi. Tai nebus švirkščiama, nes domeno elementai yra susiję su dviem priešinio domeno elementais, pavyzdžiui:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
Šiame pavyzdyje funkcijos domenas ir priešdomenas yra teigiami realieji skaičiai, taigi funkcija yra bijector, nes kiekvienas teigiamas tikrasis skaičius susijęs su vienu tikras numeris teigiamas kontrdomainas, šiuo atveju skaičiaus kvadratas. Be to, visi priešdomeno numeriai gavo rodykles.
sudėtinė funkcija
sudėtinė funkcija yra susijęs su nuorodos idėja. Apsvarstykite tris tuščias A, B ir C aibes. Taip pat apsvarstykite dvi funkcijas f ir g, kur funkcija f perima elementus x iš A rinkinio į elementus y = f (x) iš rinkinio B, o funkcija g elementus y = f (x) į elementus z iš rinkinio C.
Kompozicinė funkcija gauna šį pavadinimą, nes tai yra programa, kuri perkelia elementų iš A rinkinio tiesiai į elementus iš C rinkinio, neišeidama per rinkinį B, per funkcijų f ir g sudėtį. Pažvelk:
Funkcija, žymima (f o g), perkelia elementus iš rinkinio A tiesiai į aibę C. Tai vadinama sudėtine funkcija.
- Pavyzdys
Apsvarstykite funkciją f (x) = x2 o funkcija g (x) = x + 1. Raskite sudėtines funkcijas (f o g) (x) ir (g o f) (x).
Funkciją f o g suteikia funkcija g pritaikyta f, ty:
(f o g) (x) = f (g (x))
Norėdami nustatyti šią sudėtinę funkciją, turime atsižvelgti į šią funkciją f, o vietoj kintamojo x turime parašyti funkciją g. Pažvelk:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Panašiai, norėdami nustatyti sudėtinę funkciją (g o f) (x), turime taikyti funkciją f vaidmenyje g, tai yra, apsvarstykite funkciją g ir vietoj kintamojo parašykite funkciją f. Pažvelk:
(x + 1)
x2 + 1
Todėl sudėtinė funkcija (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Tolygi funkcija
Apsvarstykite funkciją f: A → ℝ, kur A yra ne tuščių realų pogrupis. Funkcija f bus lygi tik visiems tikriesiems x.
Pavyzdys
Apsvarstykite funkciją f: ℝ → ℝ, pateikiama f (x) = x2.
Atkreipkite dėmesį, kad bet kurios tikrosios x vertės atveju, jei kvadratas, rezultatas visada yra teigiamas, ty:
f (x) = x2
ir
f (–x) = (–x)2 = x2
Taigi f (x) = f (–x) bet kuriai realiai x reikšmei, taigi funkcija f tai pora.
Taip pat skaitykite:Galios savybėss - kokie jie ir kaip prie naudotioras?
unikali funkcija
Apsvarstykite funkciją f: A → ℝ, kur A yra ne tuščių realų pogrupis. Funkcija f bus nelyginė tikrajam x.
- Pavyzdys
Apsvarstykite funkciją f: ℝ → ℝ, pateikiama f (x) = x3.
Pažiūrėkite, kad bet kuriai x reikšmei galime parašyti (–x)3 = -x3. Peržiūrėkite keletą pavyzdžių:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Taigi galime pasakyti, kad:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Taigi bet kuriam tikram x f (–x) = –f (x), taigi funkcija f (x) = x3 yra unikalus.
didėjanti funkcija
Funkcija f é auga protarpiais tik tada, kai domeno elementams augant, auga ir jų vaizdai. Pažvelk:
Atkreipkite dėmesį, kad x1 > x2 ir tas pats nutinka su vaizdu, todėl galime nustatyti funkcijos algebrinę sąlygą f būti auga.
Mažėjimo funkcija
Funkcija f é mažėja protarpiais tik tada, kai augant domeno elementams, jų vaizdai mažėja. Pažvelk:
Pažiūrėkite, kad funkcijų srityje turime tą x1 > x2, tačiau tai neįvyksta funkcijos vaizde, kur f (x1)
pastovi funkcija
Kaip sako pavadinimas, a funkcija yra pastovus kada, už bet kokią vertę domeno, vaizdo vertė visada yra ta pati.
susijusi funkcija
afininė funkcija arba pirmojo laipsnio polinomas parašyta tokia forma:
f (x) = kirvis + b
Kur a ir b yra tikrieji skaičiai, a yra nulis, o jūsų grafikas yra tiesė. Funkcija turi tikrą domeną ir realų domeną.
kvadratinė funkcija
kvadratinė funkcija arba antrojo laipsnio daugianario funkciją suteikia a daugianario antros klasės, taip:
f (x) = kirvis2 + bx + c
Kur a, b ir c yra tikrieji skaičiai su nulis, o jūsų grafikas yra a parabolė. Vaidmuo taip pat turi tikrąjį ir priešinį domeną.
modulinė funkcija
modulinė funkcija su kintamasis x randa-jei modulio viduje ir algebriškai tai išreiškia:
f (x) = | x |
Funkcija taip pat turi tikrąjį ir priešinį domeną, tai yra, galime apskaičiuoti bet kurio tikro skaičiaus absoliučią vertę.
eksponentinė funkcija
eksponentinė funkcijarodiklyje rodo kintamąjį x. Jis taip pat turi tikrąjį domeną ir tikrąjį priešdomeną, jį algebriškai apibūdina:
f (x) = ax
Kur a yra tikrasis skaičius, didesnis už nulį.
logaritminė funkcija
logaritminė funkcija turi kintamasis logaritme o domeną sudaro realieji skaičiai, didesni už nulį.
Trigonometrinės funkcijos
At trigonometrinės funkcijos turėti kintamasis x, apimantis trigonometrinius santykius, pagrindiniai yra:
f (x) = nuodėmė (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
šaknies funkcija
Šaknies funkcijai būdinga kintamas šaknies viduje, tuo atveju, jei šaknies indeksas yra lyginis, funkcijos sritis tampa tik teigiamaisiais realiaisiais skaičiais.
pateikė Robsonas Luizas
Matematikos mokytoja
Metalurgijos pramonėje automobilių dalių gamybos sąnaudos atitinka fiksuotas mėnesines R $ 5 išlaidas 000,00 plius kintamos išlaidos 55,00 R $ už pagamintą vienetą, pridėjus 25% mokesčio nuo kainos kintamasis. Atsižvelgiant į tai, kad šios dalies pardavimo kaina prekybininkams yra 102,00 R $, nustatykite:
a) x vienetų gamybos sąnaudų funkcija.
b) pajamų funkcija, susijusi su x vienetų pardavimu.
c) x vienetų pardavimo pelno funkcija.
KMI (kūno masės indeksas) yra matematinė funkcija, nustatanti, ar suaugęs žmogus laikomas storu, nutukusiu, normalus ar per mažas svoris, susiejant asmens masę kilogramais su aukščio matavimo kvadratu, išreikštas metrų. Pagal žemiau pateiktą lentelę nustatykite 1,90 metro ūgio žmogaus masę, kad jo KMI būtų laikomas normaliu.
