Jis žinomas kaip a racionalus skaičius kiekvienas skaičius gali būti pavaizduota kaip neskaidoma trupmena. Per visą žmonijos istoriją skaičiaus idėja palaipsniui vystėsi atsižvelgiant į žmogaus poreikius. Pavyzdžiui, skaičių pateikimas trupmenomis išsprendė problemas, kurios buvo išspręstos tik Sveiki skaičiai.
Racionalų skaičių galima pateikti iš trupmenos, todėl yra būdų, kaip transformuoti sveikus skaičius, dešimtainiai skaičiai tikslūs ir periodiniai kableliai trupmenomis.
Taip pat skaitykite: Operacijos su trupmenomis - kaip išspręsti?
Kas yra racionalūs skaičiai?
Racionalūs skaičiai yra sveikųjų skaičių aibės išplėtimas, tada, be sveikųjų skaičių, buvo pridėta visos trupmenos. O rinkinys iš racionaliųjų skaičių atstovauja:
Ši reprezentacija sako, kad skaičius yra racionalus, jei jį galima pateikti kaip trupmeną The apie B, toks kad The yra sveikasis skaičius ir B yra ne nulis sveikasis skaičius. Bet jei norime racionalius skaičius apibrėžti ne taip griežtai, galime pasakyti taip:
Racionalieji skaičiai yra visi skaičiai, kuriuos galima pateikti kaip trupmeną. |
Atitinka šį apibrėžimą:
tu sveikieji skaičiais, pavyzdžiui: -10, 7, 0;
tu tikslūs dešimtainiai skaičiai, pavyzdžiui: 1,25; 0,1; 3,1415;
prie paprastos periodinės dešimtinės, pavyzdžiui: 1.424242 ...;
prie sudėtinės periodinės dešimtinės, pavyzdžiui: 1.0288888…
Ne yra racionalūs skaičiai:
At neperiodinės dešimtinės, pavyzdžiui: 4,1239489201 ...;
At šaknisnėra tiksli, pavyzdžiui:
;- varlėiz kvadratas neigiami skaičiai, pavyzdžiui:
.
Stebėjimas: Dėl neracionalių skaičių egzistavimo atsiranda kiti rinkiniai, pavyzdžiui, iracionalieji skaičiai ir kompleksiniai skaičiai.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Racionaliųjų skaičių atvaizdavimas
Supratimas, kad trupmena yra a padalijimas iš dviejų sveikųjų skaičių, kad būtų racionalus skaičius, šį skaičių galima pateikti kaip trupmeną. Todėl kiekvienas iš pirmiau minėtų atvejų kaip racionalieji skaičiai (sveiki skaičiai, tikslūs kableliai ir periodiniai kableliai) gali būti pateikiami kaip trupmena.
sveikieji skaičiai
Yra begalinės galimybės pateikti sveiką skaičių kaip trupmeną, nes trupmeną galima pavaizduoti neskaidoma forma arba ne.
Pavyzdžiai:
tikslūs kableliai
Norėdami tikslų dešimtainį skaičių paversti a trupmena, skaičiuojame skaičių po kablelio, tai yra po kablelio. Jei po kablelio yra skaičius, parašysime sveiką skaičių ir dešimtainę dalį be kablelio, viršijančio 10. Jei dešimtainėje dalyje yra du skaičiai, viršijantys 100, praktiškai skaičių skaičius dešimtainėje dalyje bus nulinių skaičių, kurį turime vardiklyje. Žr. Pavyzdį:
periodinės dešimtinės
Ne visada lengva rasti dešimtinės dešimtinės dalį, kurią mes vadiname generuojanti trupmena. Siekiant palengvinti šį darbą, buvo pastebėta, kad lygtyje, kurią naudojome radę generuojančią trupmeną, yra dėsningumų, kurie leido sukurti praktinį metodą.
Pirma, mes turime suprasti, kad yra dviejų tipų periodinės dešimtinės, paprastos ir sudėtinės. Vienas dešimtinė yra paprasta jei dešimtainėje dalyje yra tik dalis, kuri kartojasi, tai yra laikotarpis. Vienas dešimtinė yra sudėtinė jei jos dešimtainėje dalyje yra neperiodinė dalis.
Pavyzdys:
9,323232… → paprastas periodinis skaičius po kablelio
Sveika sveikoji dalis lygi 9.
Laikotarpis lygus 32.
8,7151515… → sudėtinė periodinė dešimtinė
Sveika sveikoji dalis lygi 8.
Neperiodinė dešimtainė dalis lygi 7.
Laikotarpis lygus 15.
Taip pat žiūrėkite: Lygiavertės trupmenos - trupmenos, kurios rodo tą patį kiekį
→ Pirmasis atvejis: paprasto periodinio dešimtainio skaičiaus generavimas
Pirmuoju atveju į paprastą periodinį kablelį paverskite trupmena praktiniu metodu tiesiog užrašykite skaitiklyje visą dalį ir punktą be kablelio. Vardiklyje kiekvienam periodinės dalies elementui pridedame 9.
Pavyzdys:
Generuojančios 9.323232 dalies..., kaip matėme, laikotarpis yra lygus 32, tai yra du skaičiai jo laikotarpyje, taigi vardiklis yra 99. Sveikasis skaičius plius periodinė dalis be kablelio yra 932, kuris yra skaitiklis. Taigi, generuojanti šios dešimtinės dalis yra:
→ 2-asis atvejis: generuojama sudėtinio periodinio dešimtainio skaičiaus dalis
Periodinė sudėtinė dešimtinė yra šiek tiek sunkesnė. Raskime pavyzdyje dešimtinę, prie kurios dirbome, generuojančią dalį.
8,7151515… → junginys periodinis dešimtainis skaičius.
Sveika sveikoji dalis lygi 8.
Neperiodinė dešimtainė dalis lygi 7.
Dešimtainė laikotarpio dalis lygi 15.
Skaitiklis bus atimtis 8715 - 87, tai yra skirtumas tarp skaičiaus, einančio iš visos dalies į periodinę dalį su dešimtkartės nesikartojančia dalimi.
Skaitiklis bus lygus 8715 - 87 = 8628.
Norėdami rasti vardiklį, išanalizuokime dešimtainę dalį. Pirmiausia pažvelkime į neperiodinę ir periodinę dešimtainę dalį. Šiuo atveju dešimtainė skaičiaus dalis yra 715. Kiekvienam skaičiui, kuris yra periodinėje dalyje, pridėkime a 9 vardiklio pradžioje. Kadangi periodinė dalis šiuo atveju turi du skaičius (15), vardiklyje bus du 9. Kiekvienam dešimtainės dalies skaičiui, kuris nėra periodiškas, pridėsime a 0 vardiklio gale, kuris bus 990.
Netrukus generuojanti trupmena dešimtinės dalis bus:
Racionaliųjų skaičių savybės
Tarp dviejų racionalių skaičių visada bus kitas racionalus skaičius
Įdomu pagalvoti apie šį senovės tautų daug diskutuotą turtą, kuris tampa paradoksu. Pasirinkus du racionalius skaičius, tarp jų visada bus skaičius.
Pavyzdys:
Tarp 1 ir 2 yra 1,5; tarp 1 ir 1,5 yra 1,25; tarp 1 ir 1,25 yra 1,125 ir pan. Kiek aš pasirenku du racionalius skaičius, tarp kurių labai nedaug skiriasi, visada galima rasti racionalų skaičių tarp jų. Šis turtas daro neįmanoma apibrėžti įpėdinio ir pirmtako racionaliais skaičiais.
Keturios racionaliųjų skaičių aibės operacijos yra uždarytos
Mes sakome, kad rinkinys yra uždarytas suma, pavyzdžiui, jei dviejų racionaliųjų skaičių suma visada generuoja kitą racionalųjį skaičių kaip atsakymą. Taip nutinka atliekant keturias Q operacijas.
sudėjimas, atimimas, dalijimas ir dauginimas tarp dviejų racionalių skaičių visada bus racionalus skaičius. Tiesą sakant, net potenciacija racionalaus skaičiaus visada generuos racionalų skaičių kaip atsakymą.
Racionaliųjų skaičių aibė nėra uždarytas spinduliavimas. Taigi, mkadangi 2 yra racionalus skaičius, kvadratinė 2 šaknis yra a iracionalus skaičius.
Taip pat žiūrėkite: Lygiavertės trupmenos - trupmenos, kurios rodo tą patį kiekį
Racionaliųjų skaičių pogrupiai
Mes žinome kaip pogrupiai arba įtraukimo santykis aibių, kurias sudaro elementai, priklausantys racionaliųjų skaičių aibei. Yra keli galimi pogrupiai, kaip sveikųjų skaičių rinkinys arba natūralus, nes kiekvienas sveikas skaičius yra racionalus, kaip ir kiekvienas natūralusis skaičius yra racionalus.
Pavyzdys:
Sveikųjų skaičių rinkinys: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Kai tai atsitiks, mes tai sakome Z ⸦ Q (Jame rašoma: Z yra Q arba sveikųjų skaičių aibė yra racionaliųjų skaičių rinkinyje.)
Yra keletas simbolių, kurie yra būtini kuriant Q pogrupius, jie yra: +, - ir *, kurie reiškia atitinkamai teigiamą, neigiamą ir nulio vertę.
Pavyzdžiai:
Q * → (skaitoma: nulis nulio racionaliųjų skaičių.)
Klausimas+ → (skaitoma: teigiamų racionalių skaičių rinkinys.)
Klausimas- → (skaitoma: neigiamų racionaliųjų skaičių rinkinys.)
Klausimas*+ → (skaitoma: teigiamų ir nulis racionaliųjų skaičių aibė.)
Klausimas*- → (skaitoma: neigiamų ir nulis racionaliųjų skaičių rinkinys.)
Atkreipkite dėmesį, kad visi šie rinkiniai yra Q pogrupiai, nes visi elementai priklauso racionaliųjų skaičių aibei. Be pateiktų aibių, mes galime dirbti su keliais pogrupiais Q, pavyzdžiui, iš nelyginių skaičių suformuotu rinkiniu arba pusbroliai, arba poromis, galiausiai yra kelios ir kelios pogrupių galimybės.
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
