Viena iš būdų, naudojamų sprendžiant kvadratinės lygtys yra metodas, žinomas kaip pilni kvadratai. Šis metodas susideda iš interpretavimo lygtis apie antralaipsnį kaip tobulas kvadratinis trinomas ir parašykite savo faktūrinę formą. Kartais ši paprasta procedūra jau atskleidžia lygties šaknis.
Todėl būtina turėti pagrindinių žinių apie žymių produktų, trišakisaikštėPuikus ir daugianario faktorizacija naudoti šią techniką. Tačiau dažnai tai leidžia atlikti skaičiavimus „galvoje“.
Todėl mes priminsime tris atvejus Produktainepaprastas prieš demonstruodamas metodaspabaigtikvadratai, kuri, savo ruožtu, bus atskleista trimis skirtingais atvejais.
Puikūs produktai ir puikūs kvadratiniai trinomai
Tada pamatykite puikų produktą trišakisaikštėPuikus kuri prilygsta jai ir formai faktorius šios trinomialės, atitinkamai. Norėdami tai padaryti, laikykite, kad x yra nežinomas ir The yra bet kuris tikrasis skaičius.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Antrojo laipsnio lygtis, nurodanti trečiąjį
produktasnepaprastas, žinomą kaip sumos ir skirtumo sandauga, galima išspręsti naudojant techniką, kuri dar labiau palengvina skaičiavimus. Todėl čia nebus svarstoma.Lygtis yra tobulas kvadratinis trinomas
Jei viena lygtis apie antralaipsnį yra puikus kvadratinis trinomas, tada jo koeficientus galite nustatyti kaip: a = 1, b = 2k arba - 2 tūkst ir c = k2. Norėdami tai patikrinti, tiesiog palyginkite kvadratinę lygtį su a trišakisaikštėPuikus.
Todėl tirpale lygtis apie antralaipsnį x2 + 2kx + k2 = 0, mes visada turėsime galimybę tai padaryti:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Taigi sprendimas yra unikalus ir lygus –k.
Jei lygtis būti x2 - 2kx + k2 = 0, mes galime padaryti tą patį:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Todėl sprendimas yra unikalus ir lygus k.
Pavyzdys: Kokios yra šaknys lygtis x2 + 16x + 64 = 0?
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis yra a trišakisaikštėPuikus, nes 2k = 16, kur k = 8, ir k2 = 64, kur k = 8. Taigi galime parašyti:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Čia rezultatas buvo supaprastintas, nes mes jau žinome, kad du sprendimai bus lygūs tam pačiam realiajam skaičiui.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Lygtis nėra tobulas kvadratinis trinomas
Tais atvejais, kai lygtis apie antralaipsnį nėra tobulas kvadratinis trinomas, mes galime atsižvelgti į šią hipotezę, kad apskaičiuotume jos rezultatus:
x2 + 2kx + C = 0
Atkreipkite dėmesį, kad ši lygtis virstų a trišakisaikštėPuikus, tiesiog pakeiskite C reikšmę k reikšme2. Kadangi tai yra lygtis, vienintelis būdas tai padaryti yra pridėti k2 ant abiejų narių, tada pakeisdamas nario koeficientą C. Žiūrėti:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Po šios procedūros galime tęsti ankstesnę techniką, transformuodami trišakisaikštėPuikus į nuostabų produktą ir apskaičiuojant kvadratines šaknis abiejose galūnėse.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± ženklas pasirodo visada, kai rezultatas lygtis yra kvadratinė šaknis, nes šiais atvejais kvadratinės šaknies rezultatas yra a modulis, kaip parodyta pirmame pavyzdyje. Galiausiai belieka padaryti:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Taigi, šie lygtis turi du rezultatus tikras ir skiriasi, arba nėra realaus rezultato, kai C> k2.
Pavyzdžiui, apskaičiuokite x šaknis2 + 6x + 8 = 0.
Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2,3x. Vadinasi, k = 3 ir todėl k2 = 9. Todėl skaičius, kurį turime pridėti abiejuose nariuose, yra lygus 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1–3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
Tokiu atveju koeficientas a ≠ 1
kai koeficientas The, duoda lygtis apie antralaipsnį, skiriasi nuo 1, tiesiog padalykite visą lygtį iš skaitinės koeficiento vertės The tada taikyti vieną iš dviejų ankstesnių metodų.
Taigi, 2x lygtyje2 + 32x + 128 = 0, unikalus šaknis lygus 8, nes:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
3x lygtyje2 + 18x + 24 = 0, turime šaknis - 2 ir - 4, nes:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Autorius Luizas Paulo Moreira
Baigė matematiką
