Tu kompleksiniai skaičiai kyla iš poreikio išspręsti lygtis tai turi neigiamo skaičiaus šaknis, kurio iki tol nebuvo įmanoma išspręsti dirbant realiais skaičiais. Sudėtingus skaičius galima pavaizduoti trimis būdais: a algebrinė forma (z = a + bi), sudarytą iš tikrosios dalies ir įsivaizduojama dalis B; Geometrinė forma, atstovaujama sudėtingoje plokštumoje, dar vadinamoje Argand-Gauss plokštuma; ir tavo trigonometrinė forma, taip pat žinomas kaip poliarinė forma. Remiantis jų vaizdavimu, kadangi dirbame su skaitiniu rinkiniu, sudėtiniai skaičiai turi aiškiai apibrėžtas operacijas: sudėjimas, atimimas, dauginimas, dalijimas ir sustiprinimas.
Per geometrinį vaizdą kompleksinėje plokštumoje mes taip pat apibrėžiame modulį (kurį žymi |z|) kompleksinio skaičiaus - kuris yra atstumas nuo kompleksinį skaičių žyminčio taško iki kilmės - ir koks yra a argumentas kompleksinis skaičius - tai yra kampas, suformuotas tarp horizontalios ašies ir kelio, jungiančio kilmę su tašką, kuris rodo skaičių kompleksas.
sudėtingų skaičių poreikis
Matematikoje skaitinių rinkinių išplėtimas į naują rinkinį per visą istoriją buvo gana įprastas dalykas. Pasirodo, kad jos eigoje matematika vystėsi, o paskui ir patenkinti to meto poreikius, buvo pastebėta, kad yra skaičių, kurie nepriklauso skaitiniam rinkiniui, į kurį jis nurodė. Štai kaip buvo atsiradus skaitiniai rinkiniai sveikieji skaičiai, racionalieji, iracionalieji ir realieji, ir nebuvo kitaip, kai reikėjo išplėsti realiųjų skaičių rinkinį iki sudėtinių skaičių.
Kai bandysime išspręsti kvadratinės lygtys, yra gana įprasta, kad randame neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, kurio neįmanoma išspręsti realiųjų skaičių aibėje, todėl reikia kompleksinių skaičių. Šių skaičių tyrimo pradžioje dalyvavo svarbių matematikų, tokių kaip Giralmo Cardono, indėlis, tačiau jų rinkinį įformino Gausas ir Argandas.
Taip pat skaitykite: Kompleksinių skaičių sumos geometrinis atvaizdavimas
Nesustokite dabar... Po reklamos dar daugiau;)
kompleksinio skaičiaus algebrinė forma
Bandant išspręsti kvadratinę lygtį, pvz., X² = –25, dažnai sakoma, kad ji yra neišsprendžiama. Tačiau, bandydamas algebrizuoti, algebrinis atvaizdavimas, kuris leidžia atlikti veiksmus su šiais skaičiais, nors negalite apskaičiuoti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies.
Palengvinti situacijų, kuriose dirbate, sprendimą kvadratinė šaknis neigiamo skaičiaus, įsivaizduojamas vienetas.
Taigi, analizuodami pateiktą lygtį x² = -25, turime tai:
Taigi lygties sprendiniai yra -5i e5i.
Norėdami apibrėžti algebrinę formą, laiškas aš, žinomas kaip įsivaizduojamas kompleksinio skaičiaus vienetas. Kompleksinį skaičių žymi:
z = + Bi
Ant ko ir B yra tikrieji skaičiai.
: tikroji dalis, nurodyta a = Re (z);
B: įsivaizduojama dalis, nurodyta Im (z);
i: įsivaizduojamas vienetas.
Pavyzdžiai
) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
kai tikroji dalis yra niekinė, numeris žinomas kaip grynas įsivaizduojamas, pavyzdžiui, -5i ir 5i jie yra gryni vaizduotojai, nes neturi tikros dalies.
Kai įsivaizduojama dalis yra nulinė, kompleksinis skaičius taip pat yra tikrasis skaičius.
Operacijos su sudėtingais skaičiais
Kaip ir bet kuris skaitinis rinkinys, operacijos turi būti gerai apibrėžta, todėl, atsižvelgiant į pateiktą algebrinę formą, galima atlikti keturias pagrindines kompleksinių skaičių operacijas.
Pridedant du kompleksinius skaičius
Norėdami atlikti papildymas dviejų kompleksinių skaičių z1 ir z2, pridėsime tikrąją z dalį1 ir z2 ir atitinkamai įsivaizduojamos dalies suma.
Būk:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
1 pavyzdys
Z sumos realizavimas1 ir z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
2 pavyzdys
Z sumos realizavimas1 ir z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Taip pat žiūrėkite: Kompleksinių skaičių sumos geometrinis atvaizdavimas
Dviejų kompleksinių skaičių atimimas
Prieš kalbėdami apie atimtis, turime apibrėžti, kas yra atvirkštinis kompleksinis skaičius, tai yra, z = a + bi. Atvirkštinė z dalis, žymima –z, yra kompleksinis skaičius –z = –a –bi.
Norėdami atlikti atimimą tarp z1ir -z2, taip pat, be to, mes atliksime atimimas tarp realių dalių ir tarp įsivaizduojamų dalių atskirai, bet būtina suprasti, kad -z2 tai yra sudėtinio skaičiaus atvirkštinė dalis, dėl kurios reikia žaisti ženklo žaidimą.
1 pavyzdys
Atliekant z atimimą1 ir z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
2 pavyzdys
Atliekant z atimimą1 ir z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Įsivaizduojamos vieneto galios
Prieš kalbėdami apie dauginimą, turime suprasti įsivaizduojamo vieneto galią. Ieškant metodo apskaičiuoti ine, būtina suvokti, kad šios galios elgiasi cikliškai. Tam apskaičiuokime kai kuriuos potencijos į i.
Pasirodo, kad kitos galios yra ne kas kita, kaip jos kartojimas, atkreipkite dėmesį, kad:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Toliau skaičiuojant galias, atsakymai visada bus aibės {1, i, –1, - elementai.i}, tada suraskite įrenginio galią ine, padalinsime n (rodiklį) iš 4 ir pailsėtišio skyriaus (r = {0, 1, 2, 3}) bus naujas i.
Pavyzdys1
I apskaičiavimas25
Kai padalinsime 25 iš 4, koeficientas bus 6, o likutis bus lygus 1. Taigi turime:
i 25 = i1 = i
2 pavyzdys
Apskaičiavimas i 403
Kai padalinsime 403 iš 4, koeficientas bus 100, nes 100 · 4 = 400, o likusi dalis bus 3, todėl turime:
i 403 =i 3 = -i
Kompleksinių skaičių daugyba
Norėdami atlikti dviejų kompleksinių skaičių dauginimą, pritaikykime paskirstomasis turtas. Būk:
z1= a + bi
z2= c + di, tada produktas:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), taikant paskirstomąjį turtą,
z1 · z2 = ac + skelbimasi + cbi + bdi 2, bet, kaip matėme, i ² = -1
z1 · z2 = ac + skelbimasi + cbaš - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (skelbimas + cb)i
Naudojant šią formulę, galima rasti bet kurio dviejų kompleksinių skaičių sandaugą, tačiau a Apskritai jo nereikia dekoruoti, nes apskaičiuodami mes tiesiog pritaikome turtą platinamasis.
Pavyzdys
Skaičiuojamas (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², prisimenant tai i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Taip pat prieiga: Kompleksinis skaičių susiejimas, atimimas ir dauginimas
Sudėtinis skaičių konjugatas
Prieš kalbėdami apie padalijimą, turime suprasti, kas yra kompleksinio skaičiaus konjugatas. Koncepcija yra paprasta, norint rasti kompleksinio skaičiaus konjugatą iškeistimos įsivaizduojamos dalies ženklas.
dviejų kompleksinių skaičių padalijimas
Norėdami atlikti dviejų kompleksinių skaičių padalijimas, turime trupmeną padauginti iš vardiklio konjugato, kad būtų gerai apibrėžta, kas yra tikroji ir kas yra įsivaizduojama dalis.
Pavyzdys
Skaičiuojant (6 - 4i): (4 + 2i)
Taip pat žiūrėkite: Sudėtinių skaičių priešingybė, konjugatas ir lygybė
Kompleksinė plokštuma arba Argando-Gauso plokštuma
Žinomas kaip kompleksinis planas arba Planasrgand-gauss, jis leidžia vaizdavimas geometrine forma sudėtingo skaičiaus, šis planas yra adaptacija Dekarto plokštuma pateikti sudėtingus skaičius. Horizontali ašis yra žinoma kaip realiosios dalies ašis Re (z), o vertikali ašis yra žinoma kaip įsivaizduojamos dalies ašis Im (z). Taigi kompleksinis skaičius, atstovaujamas a + bi generuoja taškus kompleksinėje plokštumoje, kurią sudaro sutvarkyta pora (a, b).
Pavyzdys
Skaičiaus 3 + 2 atvaizdavimasi geometrine forma Z (3,2).
Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas
Kompleksinio skaičiaus modulis geometriškai yra atstumas nuo taško (a, b) kuris vaizduoja šį skaičių kompleksinėje plokštumoje į kilmę, tai yra taškas (0,0).
Kaip matome, | z | yra hipotenuzė taisyklingas trikampis, todėl jį galima apskaičiuoti taikant Pitagoro teorema, todėl turime:
Pavyzdys:
Z = 1 + 3 modulio apskaičiavimasi
O argumentas iš kompleksinio skaičiaus geometriškai yra kampu suformuota horizontalios ašies ir | z |
Norėdami rasti kampo vertę, turime:
Tikslas yra rasti kampą θ = arg z.
Pavyzdys:
Raskite kompleksinio skaičiaus argumentą: z = 2 + 2i:
Kadangi a ir b yra teigiami, mes žinome, kad šis kampas yra pirmame kvadrante, todėl apskaičiuokime | z |
Žinant | z |, galima apskaičiuoti sinusą ir kosinusą.
Kadangi šiuo atveju a ir b yra lygūs 2, tada, kai apskaičiuosime sinθ, rasime tą patį kosinuso sprendimą.
Žinodamas nuodėmės ir cosθ vertes, susipažindamas su žymių kampų lentele ir žinodamas tai θ priklauso pirmajam kvadrantui, todėl θ galima rasti laipsniais arba radianais, todėl darome išvadą ką:
Trigonometrinė arba polinė forma
Kompleksinio skaičiaus atvaizdavimas trigonometrinė forma tai įmanoma tik supratus modulio ir argumento sampratą. Remiantis šia reprezentacija, kuriamos svarbios sąvokos, reikalingos kompleksiniams skaičiams tirti pažangesniu lygmeniu. Norėdami atlikti trigonometrinį vaizdavimą, prisiminsime jo algebrinę formą z = a + bi, tačiau, analizuodami kompleksinę plokštumą, turime:
Algebrine forma pakeisdami a = | z | reikšmes cos θ ir b = | z | sen θ, turime:
z = a + bi
Su z = | z | cos θ + | z | senθ aš, dėjimas | z | kaip įrodymas, mes pasiekiame trigonometrinės formos formulę:
z = | z | (cos θ + i · Nuodėmė θ) |
Pavyzdys: Trigonometrine forma užrašykite skaičių
Norėdami parašyti trigonometrine forma, mums reikia argumento ir z modulio.
1-as žingsnis - | z | apskaičiavimas
Žinant | z |, galima rasti θ reikšmę, žiūrint į žymių kampų lentelę.
Dabar galima užrašyti skaičių z trigonometrine forma kampu laipsniais arba matuojant kampą radianais.
Taip pat skaitykite: Kompleksinių skaičių spinduliavimas trigonometrine forma
sprendė pratimus
Klausimas 1 - (UFRGS) Atsižvelgiant į kompleksinius skaičius z1 = (2, –1) ir z2 = (3, x), žinoma, kad sandauga tarp z1 ir z2 yra tikrasis skaičius. Taigi x yra lygus:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Rezoliucija
D alternatyva.
Kad sandauga būtų tikrasis skaičius, įsivaizduojama dalis lygi nuliui.
Parašę šiuos skaičius algebrine forma, turime:
z1 = 2 – 1i ir z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3aš - xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Kadangi mūsų interesas yra tas, kad įsivaizduojama dalis yra lygi nuliui, tada mes išspręsime 2x - 3 = 0
2 klausimas - (UECE) Jei i yra kompleksinis skaičius, kurio kvadratas yra lygus -1, tada 5 reikšmėi 227 + i 6 – i 13 tai tas pats kaip:
) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Rezoliucija
C alternatyva.
Norint išspręsti šią išraišką, būtina rasti kiekvieno skaičiaus likutį dalijant iš 4.
227: 4 rezultatas yra 56 koeficientas ir likusi 3 dalis.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 rezultatas yra 1 koeficientas ir likusi 2 dalis.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 rezultatas yra koeficientas 3 ir likusi dalis 1.
i 13 = i1 = i
Taigi turime:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
