영형 두 벡터 간의 내적 이 벡터의 크기, 즉 길이와 벡터 사이의 각도와 관련된 실수입니다. 따라서 그것을 계산하려면 길이와 각도를 알아야합니다.
평면을 기준으로 벡터는 위치, 강도, 방향 및 방향을 나타냅니다. 따라서 물체에 가해지는 힘의 대표로서 역학 (물리) 연구에서 사용됩니다.
벡터의 일반적인 표현은 점에서 끝나는 화살표입니다. 이 점의 좌표는 점 O (0,0)에서 시작하는 벡터의 좌표라고합니다. 그것을 나타 내기 위해 v = (a, b)를 씁니다. 따라서 벡터 v = (1,2)는 다음과 같이 그려집니다.
원점에서 시작하는 벡터 예제
이 벡터의 길이를 계산하려면 다음 그림과 같이 벡터로 형성된 직각 삼각형과 x 축 (또는 y 축)의 투영을 고려합니다.
벡터 v의 길이
벡터 v의 길이는 v 벡터 노름 또는 벡터 모듈 v | v |로 표시됩니다. 벡터 v = (a, b)의 노름은 위 그림에 표시된 삼각형의 빗변의 척도입니다. 이 측정 값을 계산하기 위해 피타고라스 정리를 사용합니다.
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
두 벡터 내적
두 벡터 u와 v가 주어지면 그 사이의 내적은 다음과 같이 표현됩니다. 다음과 같이 정의됩니다.
= | u || v | · cosθ
이것은 두 벡터 간의 일종의 곱셈이지만, 이 두 벡터에 의해 형성된 각도를 포함하기 때문에 공통 곱셈이 아니므로 곱이라고 부르지 않습니다.
두 벡터 사이의 각도
위의 정의에서 발생하는 첫 번째 결과는 두 벡터 사이의 각도입니다. 실수 "내적", "u 벡터 노름"및 "v 벡터 노름"을 사용하여 벡터 u와 v 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이렇게하려면 계산을 수행하십시오.
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= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
따라서 내적을 벡터 u와 v의 규범으로 나누면이 두 벡터 사이의 코사인을 나타내는 실수를 찾을 수 있으므로 두 벡터 사이의 각도를 알 수 있습니다.
두 벡터 사이의 각도가 직선이면 cosθ는 0과 같습니다. 따라서 위 제품의 결과는 다음과 같습니다.
= 0
이로부터 두 벡터 u와 v가 주어지면 다음과 같은 경우에 직교한다는 결론을 내릴 수 있습니다. = 0.
벡터 좌표에서 계산 된 내적
두 벡터 u = (a, b) 및 v = (c, d)를 고려하면 u와 v 사이의 내적은 다음과 같이 지정됩니다.
= = a · c + b · d
내부 제품 속성
벡터 u, v 및 w와 실수 α가 주어지면 다음을 참고하십시오.
나는) =
이것은 벡터의 내적이“교류 적”이라는 것을 의미합니다.
ii) = +
이 속성은 덧셈에 대한 곱셈의 분포와 비슷합니다.
iii) = = α
실수 α를 곱한 u와 v 사이의 내적을 계산하는 것은 αv와 u 사이 또는 v와 αu 사이의 내적을 계산하는 것과 같습니다.
iv)
v와 v의 내적은 v가 널 벡터 인 경우에만 0입니다.
V)
v와 v의 내적은 항상 0보다 크거나 같습니다.
작성자: Luiz Paulo Moreira
수학 졸업
