기존의 모든 숫자는 자연수의 경우처럼 생성 당시 인간의 필요에 따라 생성되었습니다. "주식"과 관련 문제를 해결하기 위해 설립 된 무리수를 계산하고 통제하기 위해 만들어졌습니다. 뿌리. 에 대한 지식을 시작한 것은 뿌리와 관련된 문제였습니다. 복소수.
이차 방정식 x2 + 4x + 5 = 0에는 실근이 없습니다. 이것은 실수 세트 내 에서이 방정식의 첫 번째 항과 두 번째 항과 동일한 x 값을 찾을 수 없음을 의미합니다. 우리는 Bhaskara 공식의 시작부터이 현상을 관찰합니다.
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Δ에 대해 음수 값이 발견되면 √Δ (델타의 루트)를 계산해야하므로 Bhaskara의 공식을 진행할 수 없게됩니다. 이제 우리는 √– 4를 계산할 수 없다는 것을 압니다. 그 자체로 곱하면 – 4가되는 실수가 없기 때문입니다.
이러한 요구를 충족시키기 위해 복잡한 숫자가 만들어졌습니다. 생성부터 √– 4는 다음과 같이 개발 될 수 있습니다.
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
√ (– 1)는 새로운 유형의 숫자로 이해됩니다. 이 모든 숫자의 집합은 복소수의 집합으로 알려져 있으며이 새로운 집합의 각 대표는 다음과 같이 정의됩니다. A를 복소수라고 가정합니다.
A = 그만큼 + 비나는 어디 그만큼과 비 실수이고 i = √ (– 1)
이 정의에서 그만큼 그것은 A의 실제 부분 과 비 그것은 A의 허수 부.
복소수의 속성
실수는 전체적으로 그리고 기하학적으로 선을 나타냅니다. 차례로 복소수는 전체 평면을 나타냅니다. 복소수를 나타내는 데 사용되는 데카르트 평면은 Argand-Gauss 평면으로 알려져 있습니다.
모든 복소수는 Argand-Gauss 평면에서 좌표 (a, b)의 점으로 표시 될 수 있습니다. 복소수를 나타내는 점에서 점 (0,0)까지의 거리를 복소수의 계수라고합니다., 정의 :
A = a + bi를 복소수라고합시다. 모듈러스는 | A | = a2 + b2
복소수에는 켤레라고하는 역 원소도 있습니다. 다음과 같이 정의됩니다.
A = a + bi를 복소수라고합시다.
Ā = a – bi는이 숫자의 켤레입니다.
속성 1: 복소수와 켤레의 곱은 실수 부의 제곱과 복소수의 허수 부의 합과 같습니다. 수학적으로 :
AĀ = a2 + b2
예: 켤레에 의한 A = 2 + 5i의 곱은 무엇입니까?
계산을 수행하십시오.2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. A의 켤레를 쓰고 그 후에 곱셈 AÂ를 수행하면 다음과 같이됩니다.
AÂ = (2 + 5i) (2-5i)
AÂ = 4 – 10i + 10i + 25
AÂ = 4 + 25
A = 29
즉, 제안 된 속성을 사용하면 이러한 계산 중 오류뿐만 아니라 긴 계산을 피할 수 있습니다.
속성 2: 복소수 A가 켤레와 같으면 A는 실수입니다.
A = a + bi로합시다. A = Â이면 :
a + bi = a-bi
bi =-bi
b =-b
따라서 b = 0
따라서 켤레와 동일한 모든 복소수도 실수 여야합니다.
속성 3: 두 복소수의 합의 켤레는이 숫자의 켤레의 합과 같습니다., 그건:
_____ _ _
A + B = A + B
예: 7 + 9i와 2 + 4i의 합의 켤레는 무엇입니까?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
먼저 더한 다음 결과의 켤레를 계산하거나 켤레를 먼저 수행 한 다음 결과를 나중에 추가 할 수 있습니다.
재산 4: 두 복소수의 곱의 켤레는 켤레의 곱과 같습니다. 즉 :
__ _ _
AB = A · B
예: A = 7i + 10 및 B = 4 + 3i의 접합체의 곱은 무엇입니까?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 – 7i) · (4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
운동의 필요성에 따라 먼저 곱하고 나중에 켤레를 계산하거나 곱하기 전에 켤레를 표시 할 수 있습니다.
속성 5: 복소수 A와 그 켤레의 곱은 A 계수의 제곱과 같습니다. 즉 :
AÂ = | A |2
예: A = 2 + 6i, AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. 켤레를 찾고 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 통해 곱셈을 수행 할 필요는 없습니다 (작은 샤워기라고 함).
속성 6: 복소수의 계수는 켤레의 계수와 같습니다. 다시 말해:
| A | = | Ā |
예: 복소수 A = 3 + 4i의 켤레 계수를 찾으십시오.
모듈이 동일하므로 켤레를 찾을 필요가 없습니다.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
| Ā |가 계산 된 경우 유일한 변경 사항은 비 음의 제곱으로, 긍정적 인 결과를 얻습니다. 따라서 결과는 여전히 25의 근이됩니다.
속성 7: A와 B가 복소수이면 A와 B의 계수 곱은 A와 B의 곱의 계수와 같습니다., 즉 :
| AB | = | A || B |
예: A = 6 + 8i 및 B = 4 + 3i라고 가정하면 | AB |는 얼마입니까?
계수를 계산하기 전에 복소수를 곱할 필요가 없습니다. 각 복소수의 계수를 개별적으로 계산 한 다음 결과를 곱하는 것이 가능합니다.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
작성자: Luiz Paulo Moreira
수학 졸업
출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm