다면체 (라틴어에서 폴리 — 다수 — 및 헤드 론 — 얼굴)은 피규어3 차원 다면체 각도가 모두 합동 인 정다각형의 결합으로 형성됩니다. 이러한 다각형의 결합은 다면체를 구성하는 요소를 형성합니다. 정점, 가장자리 과 얼굴. 그러나 모든 3 차원 도형이 다면체는 아닙니다. 예를 들면 다음과 같은 곡면을 가진 도형이 있습니다. 둥근 몸체.
다면체의 요소를 연관시키는 수학 공식이 있습니다. 오일러의 관계. 또한 다면체는 소위 다면체라는 두 그룹으로 나뉩니다. 볼록한 그리고 볼록하지 않은. 일부 다면체는 특별한주의를 기울여야합니다. 플라톤의 다면체: 사면체, 육면체, 팔면체, 십이 면체 과 정 이십 면체.
읽기: 평면 그림과 공간 그림의 차이점
볼록 다면체
다면체는 다음에 의해 형성 될 때 볼록합니다. 다각형 볼록한, 다음 조건이 허용됩니다.
- 두 개의 다각형 못 즉, 동일한 평면에 속하지 않습니다.
- 이러한 다각형 중 하나의 각면은 두 개의 다각형에만 속합니다.
- 이러한 다각형 중 하나를 포함하는 평면은 동일한 절반 공간에 다른 다각형을 남깁니다.
읽기 :볼록 다각형의 내부 각도와 외부 각도의 합
볼록 다면체의 요소
이 볼록 다면체를 고려하십시오.
당신 사변형 그림에서 호출됩니다 얼굴 다면체의.
당신 오각형 다면체의면과 밑면입니다. 오각형베이스 다면체.
각면을 형성하는 세그먼트를 가장자리 다면체의.
가장자리가 만나는 지점을 정점.
선분 JC가 호출됩니다. 대각선 다음으로 표시되는 다면체의
JC는 대각선 중 하나입니다. 대각선 다면체의 같은면에 속하지 않는 두 정점을 연결하는 선분.
또한 모서리 사이에 형성된 다면체 각도가 있으며 다음과 같이 표시됩니다.
다면체 각도는 삼면 체 언제 세 가장자리는 정점에서 시작됩니다. 마찬가지로 사면체, 케이스 네 가장자리는 정점에서 시작됩니다.
이제부터 몇 가지 표기법을 설정할 것입니다.
자세히 알아보기: 기하학적 고체 계획
볼록 다면체의 속성
속성 1
모든면의 모서리 합계는 다면체 모서리 수의 두 배와 같습니다.
예
다면체에는 6 개의 정사각형면이 있습니다. 모서리 수를 결정 해 봅시다.
속성에 따라면의 모서리 수에면 수를 곱하면 모서리 수가 두 배가됩니다. 그러므로:
속성 2
모든면의 정점 합은 모든면의 모서리 합과 같으며, 이는 모서리 수의 두 배와 같습니다.
예
5 개의 사면체 각과 4 개의 육면체 각을 가진 다면체. 모서리 수를 결정 해 봅시다.
앞의 예와 유사하게 두 번째 속성은 모든면의 가장자리 합계가 가장자리 수의 두 배와 같다고 말합니다. 모서리의 수는 5 x 4 및 4 x 6의 곱으로 주어집니다. 5 개의 사면체 각도와 4 개의 6 면체 각도이기 때문입니다. 그러므로:
오목한 (볼록하지 않은) 다면체
다면체는 볼록하지 않거나 오목합니다. 아르 자형 이러한 점을 포함하는 것은 다면체에 모두 포함되지 않습니다.
직선 (파란색)은 다면체에서 완전하지 않으므로 다면체 (분홍색)는 오목하거나 볼록하지 않습니다.
정다면체
다면체는 규칙적이라고 말합니다. 당신의 얼굴은 정다각형입니다 서로 같고 다면체 각도가 모두 동일합니다.
몇 가지 예를 참조하십시오.
모든면이 정다각형이라는 점에 유의하십시오. 그면은 정사각형으로 형성되고 모서리는 모두 일치합니다. 즉, 동일한 치수를가집니다.
읽다또한: 일반 다각형과 볼록 다각형은 무엇입니까?
오일러의 관계
또한 ~으로 알려진 오일러의 정리, 그 결과는 Leonhard Euler (1707-1783)에 의해 입증되었으며 모든 닫힌 볼록 다면체 다음 관계가 유효합니다.
플라톤의 다면체
다음 조건을 만족하는 다면체를 플라톤의 다면체라고합니다.
오일러 관계가 유효합니다.
모든면에 동일한 수의 모서리가 있습니다.
모든 다면체 각도에는 동일한 수의 모서리가 있습니다.
규칙적이고 볼록한 다면체 또는 플라톤의 다면체가 다섯 개뿐이라는 것이 입증되었습니다.
정사면체
사면체는 4 개의 삼각형면 합동 및 4 개의 삼면 체 각 합동.
정육면체
육면체는 6 개의 정사각형면 합동 및 8 개의 삼면 체 각도 합동.
정팔면체
팔면체는 8 개의 삼각형면 합동 및 6 개의 사면체 각도 합동.
정 십이 면체
십이 면체는 12 개의 오각형면 합동 및 20 각삼면 체 합동.
정 이십 면체
정 이십 면체는 20 개의 삼각형면 합동 및 12 면체 각 합동.
해결 된 운동
1) (에넴) 보석은 32면 볼록 다면체 형태로 절단되었으며, 그중 20 개는 육면체이고 나머지는 오각형입니다. 이 보석은이 다면체의 꼭지점 수인 나이를 완성하여 생일을 축하하는 여성에게 선물이 될 것입니다. 이 여성은 완성하고 있습니다 :
a) 90 년
b) 72 세
c) 60 세
d) 56 세
e) 52 세
해결책:
제공 속성 1 볼록 다면체의 경우 다음을 알고 있습니다.
어떻게 지금 우리는 가장자리의 수를 알고 그건 얼굴 수, 오일러 관계를 사용할 수 있습니다.
완성하는 나이는 정점의 수와 같으므로 60 년입니다. 대안 c.
2) (PUC-SP) 정점 수가면 수의 3/5 인 삼각형면을 가진 볼록 다면체는 몇 개의 가장자리입니까?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
해결책:
볼록 다면체의 속성과 운동 설명에서 우리는 다음을 얻습니다.
오일러 관계에서 이러한 값을 대체하면 다음과 같습니다.
이전 방정식을 구성하고 F에서 방정식을 풀면 다음과 같습니다.
모서리 방정식에서 찾은면 수의 값을 대체하면 다음과 같이됩니다.
대안 b
작성자: Robson Luiz
수학 선생님
