매트릭스: 그것은 무엇입니까, 유형, 작업, 예

그만큼 본부 문제 해결을 용이하게하기 위해 표 형식 데이터를 구성하는 데 일반적으로 사용됩니다. 숫자 여부에 관계없이 행렬 정보는 행과 열로 깔끔하게 배열됩니다.

작업을 갖춘 행렬 세트 부가, 빼기 과 곱셈 중립 및 역 요소로서 기능은 다음과 같은 수학적 구조를 형성합니다. 다양한 분야에 적용 가능 이 넓은 지식 영역의.

너무 보기: 행렬과 선형 시스템 간의 관계

행렬 표현

행렬에 대한 연구를 시작하기 전에 표현에 관한 몇 가지 표기법을 설정해야합니다. 에서 행렬은 항상 대문자로 표시됩니다. (A, B, C…), 색인과 함께 제공됩니다. 첫 번째 숫자는 행 수를 나타내고 두 번째 숫자는 열 수를 나타냅니다..

그만큼 라인 수 (가로 행) 및 열 (수직 행) 행렬은 주문. 행렬 A의 순서는 m x n입니다. 배열에 포함 된 정보를 집단 괄호, 대괄호 또는 두 개의 수직 막대로 구성됩니다. 예를 참조하십시오.

행렬 A에는 2 개의 행과 3 개의 열이 있으므로 순서는 2 x 3 → A_2x3.

행렬 B에는 1 개의 행과 4 개의 열이 있으므로 순서는 1x4이므로 호출됩니다. 라인 매트릭스 → B_1x4.

행렬 C에는 3 개의 행과 1 개의 열이 있으므로 열 행렬 순서는 3x1 → C_3x1.

일반적으로 배열의 요소를 나타낼 수 있습니다. 즉, 수학적 표현을 사용하여이 요소를 작성할 수 있습니다. 영형일반 요소는 소문자로 표시됩니다. (a, b, c…) 그리고 배열 표현에서와 같이 위치를 나타내는 인덱스도 있습니다. 첫 번째 숫자는 요소가있는 행을 나타내고 두 번째 숫자는 요소가있는 열을 나타냅니다.

다음 행렬 A를 고려하여 해당 요소를 나열합니다.

첫 번째 행과 첫 번째 열, 즉 1 행과 1 열에있는 첫 번째 요소를 관찰하면 숫자 4가 있습니다. 더 쉽게 작성하기 위해 다음과 같이 표시합니다.

그만큼₁₁ → 1 행 요소, 1 열

그래서 우리는 행렬 A의 다음 요소를 가지고 있습니다._2x3:

그만큼₁₁ = 4

그만큼₁₂ =16

그만큼₁₃ = 25

그만큼₂₁ = 81

그만큼₂₂ = 100

그만큼₂₃ = 9

일반적으로 배열을 일반 요소의 함수로 작성할 수 있습니다. 일반 매트릭스.

m 행과 n 열의 행렬은 다음과 같이 표현됩니다.

• 예

행렬 A = [a_ij ]_2x2, 다음과 같은 훈련법이 있습니다._ij = j² – 2i. 명령문 데이터에서 행렬 A는 2x2 차수입니다. 즉, 두 줄과 두 열이 있습니다.

또한 행렬 형성 법칙이 주어졌습니다. 즉, 각 요소는_ij = j² – 2i. 공식에서 i와 j의 값을 대체하면 다음과 같습니다.

그만큼₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

그만큼₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

그만큼₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

그만큼₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

따라서 행렬 A는 다음과 같습니다.

어레이 유형

일부 행렬은 특별한주의가 필요합니다. 배열 유형 예제와 함께.

• 정사각형 행렬

행렬은 행 수는 열 수와 같습니다.. n 개의 행과 n 개의 열이있는 행렬을 A로 나타냅니다._아니 (읽기: n 차의 정사각형 행렬).

정사각형 행렬에는 두 가지 매우 중요한 요소가 있습니다. 대각선: 주 및 보조. 주 대각선은 동일한 인덱스를 가진 요소로 구성됩니다. 즉, 모든 요소가_ij i = j로. 2 차 대각선은 요소 a에 의해 형성됩니다._ij i + j = n +1, 여기서 n은 행렬 차수입니다.

• 단위 행렬

단위 행렬은 다음을 갖는 정사각형 행렬입니다. 모두당신1과 같은 주 대각선의 요소 그리고 0과 같은 다른 요소, 형성 법칙은 다음과 같습니다.

이 행렬을 I로 표시합니다. 여기서 n은 정사각형 행렬의 순서입니다. 몇 가지 예를 참조하십시오.

• 단위 행렬

1 차 정사각형 행렬입니다. 즉, 행과 열이 있으므로 단 하나의 요소.

A = [-1]_1x1, B = 나₁ = (1)_1x1 그리고 C = || 5 ||_1x1

다음은 단위 행렬의 예이며 행렬 B에 중점을 둡니다. 단위 단위 행렬.

• 널 행렬

배열의 모든 요소가 0이면 배열은 널이라고합니다. 우리는 m x n x O 순서의 널 행렬을 나타냅니다._mxn.

행렬 O는 차수 4의 null입니다.

• 반대 행렬

두 개의 등차 행렬을 고려하십시오. A = [a_ij]_mxn 그리고 B = [b_ij]_mxn. 이 행렬은 반대되는 경우에만 호출됩니다._ij = -b_ij. 그러므로, 해당 요소는 반대 숫자.

행렬 B = -A를 나타낼 수 있습니다.

• 전치 행렬

두 행렬 A = [a_ij]_mxn 그리고 B = [b_ij]_nxm 그들은 전치 경우에만_ij = b_지 즉, 행렬 A가 주어지면 전치를 찾으려면 행을 열로 사용하십시오.

행렬 A의 전치는 A로 표시됩니다.^티. 예를 참조하십시오.

더보기: 역행렬: 정의 및 확인 방법

행렬 연산

n x m 행렬의 일반 표현.

행렬 집합에는 다음과 같은 연산이 있습니다.아주 잘 정의 된 덧셈과 곱셈즉, 두 개 이상의 행렬을 연산 할 때마다 연산 결과는 여전히 행렬 집합에 속합니다. 그러나 빼기 연산은 어떻습니까? 우리는이 연산이 덧셈의 역 (반대 행렬)이라는 것을 이해합니다. 이것은 또한 매우 잘 정의되어 있습니다.

작업을 정의하기 전에 다음의 개념을 이해합시다. 해당 요소 과 행렬의 동등성. 해당 요소는 다른 행렬에서 동일한 위치를 차지하는 요소, 즉 동일한 행과 열에있는 요소입니다. 일치하는 요소가 존재하려면 배열 순서가 같아야합니다. 보기:

요소 14와 -14는 동일한 위치 (동일한 행과 열)를 차지하므로 반대 행렬 A와 B의 해당 요소입니다.

두 행렬은 해당 요소가 같을 때만 같다고합니다. 따라서 행렬 A = [a_ij]_mxn 그리고 B = [b_ij]_mxn, 이들은 다음과 같은 경우에만 동일합니다._ij = b_ij 모든 i j.

• 예

행렬 A와 B가 동일하다는 것을 알고 x와 t의 값을 결정하십시오.

행렬 A와 B가 같으므로 해당 요소가 같아야합니다.

x = -1 및 t = 1

• 행렬의 더하기와 빼기

운영 행렬 간 더하기 및 빼기 매우 직관적이지만 먼저 조건이 충족되어야합니다. 이러한 작업을 수행하려면 먼저 배열 순서는 동일합니다.

이 조건이 확인되면 행렬의 해당 요소를 더하거나 빼서 행렬의 더하기 및 빼기가 발생합니다. 행렬 A = [a_ij]_mxn 그리고 B = [b_ij]_mxn, 다음 :

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A-B = [a_ij -B_ij] _mxn

• 예

아래의 행렬 A와 B를 고려하여 A + B와 A – B를 결정하십시오.

너무 읽기: 정수 연산

• 실수를 행렬로 곱하기

스칼라에 의한 행렬의 실수 곱 (행렬 곱셈이라고도 함)은 행렬의 각 요소에 스칼라를 곱하여 제공됩니다.

A = [a_ij]_mxn 행렬과 t는 실수이므로 :

t · A = [t · a_ij]_mxn

예를 참조하십시오.

• 행렬 곱셈

행렬의 곱셈은 행렬을 더하고 빼는 것만 큼 사소하지 않습니다. 곱셈을 수행하기 전에 행렬의 순서와 관련된 조건도 충족되어야합니다. 행렬 A 고려_mxn 그리고 B_nxr.

곱셈을 수행하려면 첫 번째 행렬의 열 수는 두 번째 행렬의 행 수와 같아야합니다.. 곱셈에서 나온 곱 행렬은 첫 번째 행 수와 두 번째 열 수로 지정된 순서를 갖습니다.

행렬 A와 B 사이의 곱셈을 수행하려면 다음과 같이 각 행에 모든 열을 곱해야합니다. 의 A에 B의 첫 번째 요소를 곱한 다음 A의 두 번째 요소에 더하고 B의 두 번째 요소를 곱합니다. 연속적으로. 예를 참조하십시오.

너무 읽기: 라플라스의 정리: 사용 방법과시기 파악

연습문제 해결

질문 1 – (U. 과. Londrina – PR) 행렬 A와 B를 각각 3 x 4 및 p x q라고 가정하고 행렬 A · B의 차수가 3 x 5이면 다음이 사실입니다.

a) p = 5 및 q = 5

b) p = 4 및 q = 5

c) p = 3 및 q = 5

d) p = 3 및 q = 4

e) p = 3 및 q = 3

해결책

다음과 같은 진술이 있습니다.

그만큼_3x4 · B_pxq = C_3x5

두 행렬을 곱하는 조건에서 첫 번째 열의 수가 두 번째 행의 수와 같을 때만 곱이 존재하므로 p = 4입니다. 그리고 우리는 또한 곱 행렬이 첫 번째 행 수와 두 번째 열 수로 주어 지므로 q = 5라는 것을 알고 있습니다.

따라서 p = 4 및 q = 5입니다.

A: 대안 b

질문 2- (Vunesp) 2 x 2 실수 행렬을 포함하는 다음 등식에서 x, y, z의 값을 결정합니다.

해결책

배열 간의 작업을 수행 한 다음 배열 간의 평등을 수행해 보겠습니다.

x, y 및 z의 값을 결정하기 위해 선형 시스템을 풀 것입니다. 먼저 방정식 (1)과 (2)를 추가합시다.

2x – 4 = 0

2x = 4

x = 2

방정식 (3)에서 찾은 x 값을 대체하면 다음과 같습니다.

2² = 2z

2z = 4

z = 2

마지막으로 방정식 (1) 또는 (2)에서 찾은 x와 z의 값을 대체하면 다음과 같습니다.

x + y-z = 0

2 + y – 2 = 0

y = 0

따라서 문제에 대한 해결책은 S = {(2, 0, 2)}로 제공됩니다.

작성자: Robson Luiz
수학 선생님