연립 방정식 연구와 관련된 중요한 수학 주제인 선형 시스템에 대한 지식을 연습합니다. 많은 실용적인 응용 프로그램에서 다양한 변수와 관련된 문제를 해결하는 데 사용됩니다.
모든 질문은 단계별로 해결되며 대체, 추가, 제거, 스케일링 및 Cramer의 규칙과 같은 다양한 방법을 사용합니다.
질문 1(대체 방법)
다음 선형 방정식 시스템을 푸는 순서쌍을 결정하십시오.
응답:
첫 번째 방정식에서 x를 분리:
x를 두 번째 방정식에 대입:
y의 값을 첫 번째 방정식에 대입합니다.
따라서 시스템을 푸는 순서쌍은 다음과 같습니다.
질문 2(스케일링 방법)
다음 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.
답: x = 5, y = 1, z = 2
시스템은 이미 제대 형태입니다. 세 번째 방정식에는 두 개의 제로 계수(y = 0 및 x = 0)가 있고 두 번째 방정식에는 제로 계수(x = 0)가 있으며 세 번째 방정식에는 제로 계수가 없습니다.
제대형 시스템에서는 "아래에서 위로", 즉 세 번째 방정식부터 시작합니다.
맨 위 방정식으로 이동하여 z = 2로 대체합니다.
마지막으로 x를 얻기 위해 첫 번째 방정식에서 z = 2 및 y = 1을 대입합니다.
해결책
x = 5, y = 1, z = 2
질문 3(Cramer의 규칙 또는 방법)
다음 선형 방정식 시스템을 풉니다.
답: x = 4, y = 0.
Cramer의 규칙을 사용합니다.
1 단계: 결정자 D, Dx 및 Dy를 결정합니다.
계수의 행렬은 다음과 같습니다.
결정 요인:
디 = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Dx 계산을 위해 x 항의 열을 독립항 열로 바꿉니다.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Dy를 계산하기 위해 y의 항을 독립 항으로 대체합니다.
다이 = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
다이 = 0
2 단계: x와 y를 결정합니다.
x를 결정하기 위해 다음을 수행합니다.
y를 결정하기 위해 다음을 수행합니다.
질문 4
스포츠 행사에서 티셔츠와 모자 판매자가 티셔츠 3장과 모자 2장을 판매하여 총 R$220.00를 모금했습니다. 다음날 그는 셔츠 2벌과 모자 3벌을 팔아 R$190.00를 모금했습니다. 티셔츠 가격과 모자 가격은 얼마일까요?
a) 티셔츠: BRL 60.00 | 한도: BRL 40.00
b) 티셔츠: BRL 40.00 | 캡: BRL 60.00
c) 티셔츠: BRL 56.00 | 캡: BRL 26.00
d) 티셔츠: BRL 50.00 | 캡: BRL 70.00
e) 티셔츠: BRL 80.00 | 캡: BRL 30.00
티셔츠의 가격을 c, 모자의 가격을 b로 표시해 봅시다.
첫날에는 다음이 있습니다.
3c + 2b = 220
두 번째 날에는 다음이 있습니다.
2c + 3b = 190
우리는 각각 두 개의 미지수 c와 b로 두 개의 방정식을 형성합니다. 그래서 우리는 2x2 선형 방정식 시스템을 가지고 있습니다.
해결
Cramer의 규칙 사용:
1단계: 계수 행렬의 결정자.
2단계: 행렬식 Dc.
c 열을 독립 항의 행렬로 바꿉니다.
3단계: 결정자 Db.
4단계: c와 b의 값을 결정합니다.
응답:
티셔츠 가격은 R$56.00이고 캡은 R$26.00입니다.
질문 5
영화관은 성인의 경우 티켓당 R$10.00, 어린이의 경우 티켓당 R$6.00를 부과합니다. 하루에 80장의 티켓이 팔렸고 총 컬렉션은 R$ 700.00였습니다. 각 유형의 티켓은 몇 장이나 팔렸습니까?
a) 성인: 75 | 어린이: 25
b) 성인: 40 | 어린이: 40
c) 성인: 65 | 어린이: 25
d) 성인: 30 | 어린이: 50
e) 성인: 25 | 어린이: 75
이름을 다음과 같이 지정합니다. 그만큼 성인 티켓 가격과 승 아이들 용.
우리가 가지고 있는 총 티켓 수와 관련하여:
a + c = 80
얻은 값과 관련하여 다음이 있습니다.
10a + 6c = 700
우리는 2개의 방정식과 2개의 미지수, 즉 2x2 시스템으로 선형 방정식 시스템을 형성합니다.
해결
대체 방법을 사용하겠습니다.
첫 번째 방정식에서 a를 분리합니다.
a = 80 - c
a를 두 번째 방정식에 대입:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
두 번째 방정식에 c를 대입하면:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6년 + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
질문 6
상점에서는 티셔츠, 반바지, 신발을 판매합니다. 첫날에는 티셔츠 2장, 반바지 3장, 신발 4켤레가 판매되어 총 R$ 350.00에 판매되었습니다. 둘째 날에는 티셔츠 3장, 반바지 2장, 신발 1켤레가 판매되어 총 R$ 200.00에 판매되었습니다. 셋째 날에는 티셔츠 1장, 반바지 4장, 신발 2켤레가 총 R$ 320.00에 판매되었습니다. 티셔츠, 반바지, 신발 한 켤레의 가격은 얼마입니까?
a) 티셔츠: BRL 56.00 | 버뮤다: R$ 24.00 | 신발: BRL 74.00
b) 티셔츠: BRL 40.00 | 버뮤다: R$ 50.00 | 신발: BRL 70.00
c) 티셔츠: BRL 16.00 | 버뮤다: R$ 58.00 | 신발: BRL 36.00
d) 티셔츠: BRL 80.00 | 버뮤다: R$ 50.00 | 신발: BRL 40.00
e) 티셔츠: BRL 12.00 | 버뮤다: R$ 26.00 | 신발: BRL 56.00
- c는 셔츠 가격입니다.
- b는 반바지의 가격입니다.
- s는 신발 가격입니다.
첫날:
2c + 3b + 4s = 350
둘째 날:
3c + 2b + s = 200
셋째 날:
c + 4b + 2s = 320
3개의 방정식과 3개의 미지수가 있어 선형 방정식의 3x3 시스템을 형성합니다.
Cramer의 규칙을 사용합니다.
계수의 행렬은 다음과 같습니다.
행렬식은 D = 25입니다.
응답의 열 행렬은 다음과 같습니다.
Dc를 계산하기 위해 응답의 열 행렬을 계수 행렬의 첫 번째 열로 바꿉니다.
DC = 400
Db 계산:
DB = 1450
Ds 계산:
DS = 900
c, b 및 s를 결정하기 위해 결정자 Dc, Db 및 Ds를 주 결정자 D로 나눕니다.
질문 7
레스토랑에서는 고기, 샐러드, 피자의 세 가지 요리 옵션을 제공합니다. 첫날에는 40개의 고기 요리, 30개의 샐러드 요리, 10개의 피자가 판매되어 총 R$ 700.00의 매출을 기록했습니다. 둘째 날에는 고기 요리 20개, 샐러드 요리 40개, 피자 30개를 판매하여 총 판매액 R$ 600.00를 기록했습니다. 3일째에는 고기 요리 10개, 샐러드 요리 20개, 피자 40개를 판매하여 총 매출 R$ 500.00를 기록했습니다. 각 요리의 가격은 얼마입니까?
a) 육류: BRL 200.00 | 샐러드: R$ 15.00 | 피자: BRL 10.00
b) 고기: R$ 150.00 | 샐러드: R$ 10.00 | 피자: BRL 60.00
c) 육류: BRL 100.00 | 샐러드: R$ 15.00 | 피자: BRL 70.00
d) 육류: BRL 200.00 | 샐러드: R$ 10.00 | 피자: BRL 15.00
e) 육류: BRL 140.00 | 샐러드: R$ 20.00 | 피자: BRL 80.00
사용:
- c 육류용;
- s 샐러드;
- 피 피자.
첫날:
둘째날:
셋째 날:
각 요리의 가격은 시스템을 해결하여 얻을 수 있습니다.
해결
제거 방법을 사용합니다.
20c + 40s + 30p = 6000에 2를 곱합니다.
첫 번째에서 얻은 두 번째 행렬 방정식을 뺍니다.
위의 행렬에서 이 방정식을 두 번째 방정식으로 바꿉니다.
위의 세 번째 방정식에 4를 곱합니다.
첫 번째 방정식에서 세 번째를 빼면 다음을 얻습니다.
세 번째로 얻은 방정식을 대입합니다.
방정식 2와 3을 빼면 다음과 같습니다.
세 번째 방정식에서 p = 80을 얻습니다.
두 번째 방정식에 p를 대입하면:
50초 + 50.80 = 5000
50초 + 4000 = 5000
50초 = 1000
s = 1000/50 = 20
첫 번째 방정식에서 s와 p의 값을 대체합니다.
40c + 30.20 + 10.80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
해결책
p=80, s=20 및 c=140
질문 8
(UEMG) 계획에서 시스템은 한 쌍의 선을 나타냅니다.
가) 일치.
b) 뚜렷하고 평행하다.
c) 지점에서 동시 라인( 1, -4/3 )
d) 지점에서 동시 라인( 5/3, -16/9 )
첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 방정식을 더합니다.
방정식 A에서 x를 대입:
질문 9
(PUC-MINAS) 어떤 실험실은 약국 A, B, C에 108건의 주문을 보냈습니다. B 약국으로 보낸 주문 건수는 다른 두 약국으로 보낸 주문 건수를 합친 건수의 두 배인 것으로 알려졌다. 또 A약국으로 출하된 물량의 절반이 넘는 주문 3건이 C약국으로 발송됐다.
이 정보를 바탕으로 약국 B와 C에 보낸 총 주문 수는
가) 36
나) 54
다) 86
라) 94
진술에 따르면 우리는 다음을 가지고 있습니다.
A + B + C = 108.
또한 B의 양은 A+C의 두 배였다.
B = 2(A + C)
A 약국으로 발송된 물량의 절반 이상인 3건의 주문이 C 약국으로 발송되었습니다.
C = A/2 + 3
방정식과 세 가지 미지수가 있습니다.
대체 방법을 사용합니다.
1단계: 세 번째를 두 번째로 바꿉니다.
2 단계: 얻은 결과와 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식으로 대체하십시오.
3단계: A의 값을 대입하여 B와 C의 값을 결정합니다.
B = 3A + 6 = 3.22 + 6 = 72
C:
4단계: B와 C의 값을 더합니다.
72 + 14 = 86
질문 10
(UFRGS 2019) 선형 방정식 시스템이 가능하고 결정적이며 필요하고 충분합니다.
a) ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
라) ≠ 1.
다) ≠ 2.
시스템을 가능한 한 분류하고 결정하는 방법 중 하나는 Cramer의 방법을 통하는 것입니다.
이에 대한 조건은 결정자가 0이 아니라는 것입니다.
주행렬의 행렬식 D를 0으로 만들기:
선형 시스템에 대해 자세히 알아보려면:
- 선형 시스템: 정의, 유형 및 해결 방법
- 방정식 시스템
- 선형 시스템의 스케일링
- 크래머의 법칙
더 많은 연습:
- 1차 방정식 시스템
ASTH, 라파엘. 해결된 선형 시스템에 대한 연습.모든 문제, [n.d.]. 가능: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. 액세스:
너무 참조
- 선형 시스템
- 선형 시스템의 스케일링
- 방정식 시스템
- 행렬 곱셈에 대한 11가지 연습
- 2차 방정식
- 불평등 운동
- 27 기본 수학 연습
- 크래머의 법칙
