영형 표준 편차 분산 및 변동 계수와 마찬가지로 분산의 척도입니다. 표준 편차를 결정할 때 산술 평균(목록의 숫자 합계와 추가된 숫자 수 사이의 나누기) 대부분의 데이터가 집중되어 있습니다. 표준 편차의 값이 클수록 데이터의 변동성이 커집니다. 즉, 산술 평균과의 편차가 커집니다.
읽기: 최빈값, 평균 및 중앙값 — 중심 경향의 주요 척도
표준 편차 요약
- 표준 편차는 변동성의 척도입니다.
- 표준 편차 표기법은 소문자 그리스 문자 시그마(σ) 또는 문자 s입니다.
- 표준 편차는 평균 주변의 데이터 변동성을 확인하는 데 사용됩니다.
- 표준 편차는 범위를 결정합니다. \(\왼쪽[\뮤-\시그마,\뮤+\시그마\오른쪽]\), 대부분의 데이터가 있는 위치입니다.
- 표준 편차를 계산하려면 분산의 제곱근을 찾아야 합니다.
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
표준편차란?
표준 편차는 통계에서 채택된 분산 측정. 그것의 사용은 분산 해석, 이것은 또한 분산의 척도입니다.
실제로는 표준편차 대부분의 데이터가 집중되는 산술 평균을 중심으로 간격을 결정합니다.. 따라서 표준 편차 값이 클수록 데이터의 불규칙성이 커집니다(자세한 정보 이기종), 표준 편차 값이 작을수록 데이터의 불규칙성이 작습니다(자세한 정보 동종의).
표준 편차를 계산하는 방법은 무엇입니까?
데이터 세트의 표준 편차를 계산하려면 분산의 제곱근을 찾아야 합니다.. 따라서 표준편차를 구하는 공식은
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\l도트, x_N\) → 관련된 데이터.
- μ → 데이터의 산술 평균.
- N → 데이터 양.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\left (x_3-\mu\right)^2+...+\left (x_N-\mu\right)^2 \)
근수의 분자를 나타내는 마지막 항목은 각 데이터 포인트와 산술 평균 간의 차이의 제곱합을 나타냅니다. 점에 유의하시기 바랍니다 표준 편차의 측정 단위는 데이터와 동일한 측정 단위입니다. 엑스1,엑스2,엑스3,…,엑스아니요.
이 공식을 작성하는 것은 약간 복잡하지만 적용은 더 간단하고 직접적입니다. 다음은 이 식을 사용하여 표준 편차를 계산하는 방법의 예입니다.
- 예:
2주 동안 한 도시에서 다음과 같은 온도가 기록되었습니다.
주일 |
일요일 |
두번째 |
제삼 |
네번째 |
다섯 |
금요일 |
토요일 |
1주차 |
29°C |
30°C |
31°C |
31.5°C |
섭씨 28도 |
28.5°C |
29°C |
2주차 |
28.5°C |
27°C |
섭씨 28도 |
29°C |
30°C |
섭씨 28도 |
29°C |
2주 중 이 도시에서 기온이 더 일정하게 유지된 때는 언제입니까?
해결:
온도 규칙성을 분석하려면 1주차와 2주차에 기록된 온도의 표준 편차를 비교해야 합니다.
- 먼저 1주의 표준 편차를 살펴보겠습니다.
평균 μ1 그것은 아니요1 그들은
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)
\(N_1=7\) (주 7일)
또한 각 온도와 평균 기온의 차이의 제곱을 계산해야 합니다.
\(\왼쪽 (29-29.57\오른쪽)^2=0.3249\)
\(\왼쪽 (30-29.57\오른쪽)^2=0.1849\)
\(\왼쪽 (31-29.57\오른쪽)^2=2.0449\)
\(\왼쪽 (31.5-29.57\오른쪽)^2=3.7249\)
\(\왼쪽 (28-29.57\오른쪽)^2=2.4649\)
\(\왼쪽 (28.5-29.57\오른쪽)^2=1.1449\)
\(\왼쪽 (29-29.57\오른쪽)^2=0.3249\)
결과를 더하면 표준 편차 공식에서 근의 분자는 다음과 같습니다.
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
따라서 1주차 표준편차는
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \약 1.208\ °C\)
참고: 이 결과는 1주차 온도의 대부분이 [28.36 °C, 30.77 °C] 구간, 즉 다음 구간에 있음을 의미합니다. \(\왼쪽[\mu_1-\시그마_1,\mu_1+\시그마_1\오른쪽]\).
- 이제 2주차 표준 편차를 살펴보겠습니다.
같은 추론에 따라, 우리는
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\왼쪽 (28.5-28.5\오른쪽)^2=0\)
\(\왼쪽 (27-28.5\오른쪽)^2=2.25\)
\(\왼쪽 (28-28.5\오른쪽)^2=0.25\)
\(\왼쪽 (29-28.5\오른쪽)^2=0.25\)
\(\왼쪽 (30-28.5\오른쪽)^2=2.25\)
\(\왼쪽 (28-28.5\오른쪽)^2=0.25\)
\(\왼쪽 (29-28.5\오른쪽)^2=0.25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
따라서 2주차 표준편차는
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \약0.89\ °C\)
이 결과는 대부분의 2주차 온도가 다음 범위에 있음을 의미합니다. \(\왼쪽[\mu_2-\시그마_2,\mu_2+\시그마_2\오른쪽]\), 즉 범위 \(\왼쪽[\mu_2-\시그마_2,\mu_2+\시그마_2\오른쪽]\).
깨달아 라 \(\시그마_2즉, 2주차 표준편차가 1주차 표준편차보다 작습니다. 따라서 2주차는 1주차보다 더 규칙적인 온도를 나타냈습니다.
표준 편차의 유형은 무엇입니까?
표준 편차의 유형은 데이터 구성 유형과 관련이 있습니다.. 이전 예에서는 그룹화되지 않은 데이터의 표준 편차로 작업했습니다. 다른 방식으로 구성된 데이터(예: 그룹화된 데이터) 집합의 표준 편차를 계산하려면 공식을 조정해야 합니다.
표준 편차와 분산의 차이점은 무엇입니까?
표준편차 제곱근 분산:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\왼쪽 (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
데이터 세트의 변동성을 결정하기 위해 분산을 사용할 때 결과는 데이터 단위가 제곱되어 분석이 어렵습니다. 따라서 데이터와 단위가 같은 표준편차는 분산 결과를 해석할 수 있는 도구입니다.
더 알아보기:절대 빈도 — 데이터 수집 중에 동일한 응답이 나타난 횟수
표준 편차에 대한 풀이 연습
질문 1
(FGV) 10명의 학생이 있는 학급에서 평가에서 학생들의 성적은 다음과 같습니다.
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
이 목록의 표준 편차는 대략
답) 0.8.
나) 0.9.
다) 1.1.
라) 1.3.
마) 1.5.
해결:
대안 C.
성명서에 따르면, 엔 = 10. 이 목록의 평균은
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
뿐만 아니라,
\(\왼쪽 (6-8\오른쪽)^2=4\)
\(\왼쪽 (7-8\오른쪽)^2=1\)
\(\왼쪽 (8-8\오른쪽)^2=0\)
\(\왼쪽 (9-8\오른쪽)^2=1\)
\(\왼쪽 (10-8\오른쪽)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
따라서 이 목록의 표준편차는
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\약 1.1\)
질문 2
아래 진술을 고려하고 각 진술을 T(참) 또는 F(거짓)로 평가하십시오.
나. 분산의 제곱근은 표준 편차입니다.
II. 표준 편차는 산술 평균과 관계가 없습니다.
III. 분산 및 표준 편차는 분산 측정의 예입니다.
올바른 순서는 위에서 아래로
A) V-V-F
나) F-F-V
다) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
해결:
전자 대안.
나. 분산의 제곱근은 표준 편차입니다. (진실)
II. 표준 편차는 산술 평균과 관계가 없습니다. (거짓)
표준 편차는 대부분의 데이터가 속하는 산술 평균 주변의 간격을 나타냅니다.
III. 분산 및 표준 편차는 분산 측정의 예입니다. (진실)
마리아 루이자 알베스 리조
수학 선생님
원천: 브라질 학교 - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
