두 벡터 사이의 각도

수학 또는 물리학에서 벡터 그들은 직선 세그먼트 힘, 속도 및 가속도와 같은 양을 나타내는 데 사용되는 방향, 방향 및 길이.

벡터는 궤적을 나타내며 좌표계 (x, y)를 사용하여 정의 할 수 있습니다. 점 (0,0)을 세그먼트의 원점으로 고려하면 아래 그림은 벡터를 보여줍니다. $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ 누구의 끝이 포인트 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

표기법: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

안수 $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ 수평 성분과 횡좌표라고합니다. $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , 수직 구성 요소.

이제 벡터 외에도 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , 다른 벡터 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ 아래 그림과 같이 그들 사이에 형성된 각도.

벡터 사이의이 각도는 벡터와 각 벡터의 노름 (길이) 사이의 내적을 포함하는 공식으로 계산할 수 있습니다.

두 벡터 사이의 각도

두 벡터 주사위 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ 과 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , 각도의 코사인 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ 그중에는 다음과 같이 벡터와 표준 사이의 내부 제품과 관련이 있습니다.

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

분수의 분자는 다음과 같이 주어진 벡터 간의 내적입니다.

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

그리고 분모는 다음과 같이 각 벡터의 표준 간의 곱입니다.

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$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

교체함으로써 우리는 두 벡터 사이의 각도 공식 é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

예:

벡터 사이의 각도를 계산 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ 과 $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

공식의 값을 적용하려면 다음을 수행해야합니다.

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {-1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

계산기 또는 삼각 표, 우리는 다음을 볼 수 있습니다.

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}$

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