삼각 행렬: 유형, 행렬식, 연습

행렬은 삼각형입니다. 주 대각선 위의 요소 또는 주 대각선 아래의 요소가 모두 null 인 경우. 이 유형의 행렬에 대해 두 가지 가능한 분류가 있습니다. 첫 번째는 주 대각선 위의 요소가 널 (null) 인 경우로 하위 삼각형 행렬을 설정합니다. 두 번째는 주 대각선 아래의 요소가 널 (null) 인 경우 상부 삼각 행렬을 설정합니다.

Sarrus의 규칙에 따라 삼각 행렬의 행렬식을 계산하려면 다른 곱셈이 모두 0이되기 때문에 주 대각선 곱셈을 수행하면됩니다.

읽기: 배열 — 정의 및 기존 유형

삼각 행렬은 행렬의 특별한 경우입니다.

삼각 행렬 유형

삼각 행렬이 무엇인지 이해하려면 동일한 수의 행과 열을 가진 행렬 인 정사각형 행렬의 주 대각선이 무엇인지 기억하는 것이 중요합니다. 행렬의 주 대각선은 용어 a입니다._ij, 여기서 i = j, 즉 행 번호가 열 번호와 같은 항입니다.

예:

주 대각선의 용어는 빨간색으로 강조 표시됩니다.

정사각형 행렬이 무엇이며 주 대각선이 무엇인지 이해하고 삼각 행렬이 무엇인지와 그 분류를 알아 봅시다. 삼각 행렬에는 두 가지 가능한 분류가 있습니다. 그만큼하부 삼각 행렬과 상부 삼각 행렬.

• 하부 삼각 행렬: 주 대각선 위의 모든 항이 0이고 주 대각선 아래의 항이 다음과 같을 때 발생합니다. 실수.

수치 예 :

• 상부 삼각 행렬: 주 대각선 아래의 모든 항이 0이고 주 대각선 위의 항이 실수 일 때 발생합니다.

수치 예 :

대각 행렬

대각 행렬은 삼각 행렬의 특별한 경우. 여기에서 0이 아닌 유일한 항은 주 대각선에 포함 된 항입니다. 주 대각선 위 또는 아래의 항은 모두 0과 같습니다.

대각 행렬의 수치 예 :

삼각 행렬의 결정자

삼각 행렬이 주어지면이 행렬의 행렬식을 다음과 같이 계산할 때 사 루스의 규칙, 주 대각선 항의 곱셈을 제외하고 모든 곱셈이 0과 같다는 것을 알 수 있습니다.

det (A) = a₁₁ · ㅏ₂₂· ㅏ₃₃ +₁₂ · ㅏ₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 -(₁₃ ·그만큼₂₃ ·0 +₁₁ · ㅏ₂₃ · 0 +₁₂ · 0· ㅏ₃₃)

첫 번째를 제외한 모든 조건에서 0은 요인 중 하나이며 모두 곱셈 0은 0과 같으므로 다음과 같습니다.

det (A) = a₁₁ · ㅏ₂₂· ㅏ₃₃

이것은 주 대각선의 항 사이의 곱입니다.

삼각 행렬에 포함 된 행과 열의 수에 관계없이 행렬식은 항상 주 대각선 항의 곱과 같습니다..

참조: 결정자 — 정사각형 행렬에 적용된 기능

삼각 행렬 속성

삼각 행렬에는 몇 가지 특정 속성이 있습니다.

• 첫 번째 속성 : 삼각 행렬의 행렬식은 주 대각선 항의 곱과 같습니다.
• 두 번째 속성 : 두 삼각 행렬 사이의 곱은 삼각 행렬입니다.
• 세 번째 속성 : 삼각 행렬의 주 대각선의 항 중 하나가 0과 같으면 그 행렬식은 0과 같으므로 결과적으로 반전되지 않습니다.
• 네 번째 속성 : 삼각 행렬의 역행렬도 삼각 행렬입니다.
• 다섯 번째 속성: 두 개의 상위 삼각 행렬의 합은 상위 삼각 행렬입니다. 유사하게, 두 개의 하부 삼각 행렬의 합은 하부 삼각 행렬입니다.

해결 된 운동

1) 행렬 A가 주어지면 A의 행렬식 값은 다음과 같습니다.

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

해결

대안 d.

이 행렬은 더 낮은 삼각형이므로 행렬식은 주 대각선에서 항의 곱셈입니다.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) 다음 진술을 판단하십시오.

I → 모든 정사각형 행렬은 삼각형입니다.

II → 하부 삼각 매트릭스와 상부 삼각 매트릭스의 합은 항상 삼각 매트릭스입니다.

III → 모든 대각선 단위 행렬은 삼각 행렬입니다.

올바른 순서는 다음과 같습니다.

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

해결

대안 d.

I → False, 모든 삼각형 행렬이 정사각형이지만 모든 정사각형 행렬이 삼각형이 아니기 때문입니다.

II → False, 상부 삼각 매트릭스와 하부 삼각 매트릭스의 합이 항상 삼각 매트릭스를 생성하지는 않기 때문입니다.

III → 사실, 대각선과 다른 항이 0과 같기 때문입니다.

작성자: Raul Rodrigues de Oliveira
수학 선생님

출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm