君は 無理数 数学者に長い間大きな不安を引き起こしました。 今日、すでに明確に定義されているように、私たちは無理数としてその数を知っています 小数表現は常に非周期的な小数です. 無理数の主な特徴、およびそれらが有理数と異なる点は、それらが で表すことはできません 分数.
ピタゴラスの定理に関連する問題を計算するときに、不正確な根が見つかったときに、無理数の研究が深まりました。 これらの不正確な根の解決策を探すという行為は、不正確な什分の一の存在を顕著にしました 周期的、つまり、小数部が無限であり、適切なシーケンスを持たない数値。 定義されています。 主な無理数は、非周期小数、非正確な根、およびπです。
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無理数のセット
無理数の研究の前に、数のセットが研究されました ナチュラル、整数と有理数。 長方形の三角形の研究を深く掘り下げると、次のことが明らかになりました。 正確な解決策がないいくつかのルーツがあります特に、不正確なルートソリューションが数値であることがわかりました。 非周期的な什分の一として知られています.
この不安の中で、多くの数学者は、不正確な根が有理数であり、 これは分数で表すことができますが、実現されたのは、これらの数値はこれでは表現できないということでした。 形。 これまで、有理数のセットにはこれらの数が含まれていなかったため、無理数のセットと呼ばれる新しいセットを作成する必要が生じました。
小数表現が非周期的小数である場合、数値は無理数です。 |
無理数とは何ですか？
無理数であるためには、定義を満たす必要があります。つまり、 その小数表現は非周期的な小数です. 非周期小数の主な特徴は、分数で表すことができないことです。これは、無理数が有理数の反対であることを示しています。
この機能の主な番号は 根は正確ではありません。
例:
a）√2
b）√5
c）√7
d）√13
不正確なルートソリューションを探す場合、つまり、これらの数値の10進表現を実行する場合は、常に 非周期的な小数が見つかります。これにより、これらの数値が次のセットの要素になります。 不合理。
不正確な根に加えて、非周期的な小数自体があります。たとえば、不正確な根を計算すると、非周期的な小数が見つかります。
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
無理数は一般的にギリシャ文字で表されます、小数点以下の桁数をすべて書き込むことはできないためです。
最初のものは π （読み取り：円周率）、円の面積と周囲長の計算に存在します。 に等しい値を持っています 3,1415926535…
πに加えて、別の非常に一般的な数はϕです（読み取り：fi）。 彼は以下を含む問題で発見されました 割合 ゴールデン。 それは1.618033に等しい値を持っています...
も参照してください： 素数とは何ですか？
有理数と無理数
数のセットを分析するとき、 有理数と無理数を区別することが重要です. これらの2つのセットの和集合は、数学で最も研究されているセットの1つである実数のセット、つまり、 実数 分数（有理数）として表現できる数と、分数（無理数）として表現できない数の結合です。
のセットで 有理数、整数、自然小数、正確な小数、および循環小数があります。
有理数の例:
-60→整数
2.5→正確な小数
5.1111111…→循環小数
無理数は非周期的な小数であるため、有理数と無理数を同時に持つ数はありません。
無理数の例:
1,123149…→非周期的な什分の一
2.769235…→非周期的な什分の一
無理数での操作
加減
THE 添加 そしてその 減算 2つの無理数の通常は ちょうど表された、これらの数値の10進近似が使用されていない限り、次に例を示します。
a）√6+√5
b）√6–√5
c）1.414213…+ 3.1415926535…
部首のために値を加算または減算することはできないため、指定された操作をそのままにしておきます。
10進表現では、正確な合計を実行することもできないため、 2つの無理数を加算するには、有理数の近似が必要です。、およびこの表現は、このデータの精度の必要性に応じて選択されます。 小数点以下の桁数が多いほど、正確な合計に近くなります。
観察：無理数のセットは加算または減算に閉じられていません。これは、2つの無理数の合計が有理数ではない数になる可能性があることを意味します。 たとえば、無理数の差をその反対で計算する場合、次のことを行う必要があります。
a）√2–√2 = 0
b）π+（-π）= 0
0は無理数ではないことがわかっています。
乗算と除算
掛け算と 分割 無理数の 表現が radiciationただし、加算と同様に、小数表現、つまり2つの小数を乗算または除算する場合は、この数値の有理数近似が必要です。
a）√7・√5=√35
b）√32：√2=√16= 4
また、例bでは、4は有理数です。つまり、2つの無理数の乗算と除算は閉じられていません。つまり、有理数の結果が得られる可能性があります。
解決された演習
質問1 - 次の番号を確認してください。
I）3.1415926535
II）4,1234510…。
III）2π
IV）1.123123123..。
V）√36
VI）√12
これらは無理数です：
A）I、IV、Vのみ
B）II、III、VIのみ
C）II、IV、VIのみ
D）I、II、III、VIのみ
E）III、IV、V、VIのみ
解決
代替案B
I→数は正確な小数で有理数です。
II→数は非周期的で非合理的な小数です。
III→πは無理数であり、その二重、つまり2πも無理数です。
IV→数は周期的で有理数の小数です。
V→正確で有理根。
VI→ルートが正確ではなく、不合理です。
質問2 - 次のステートメントを判断してください。
I –実数のセットは、有理数と無理数の和集合です。
II –2つの無理数の合計は有理数になる可能性があります。
III –什分の一は無理数です。
ステートメントを分析すると、次のように言うことができます。
A）私だけが真実です。
B）ステートメントIIのみが真です。
C）ステートメントIIIのみが真です。
D）ステートメントIとIIのみが真です。
E）すべての記述が正しい。
解決
代替案D
I→True、実数のセットの定義は有理数と無理数の和集合だからです。
II→確かに、その反対に数を加えると、結果として数0になります。これは有理数です。
III→誤った、非周期的な什分の一は不合理です。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm