O 2つのベクトル間の内積 は、これらのベクトルの大きさ、つまり、それらの長さ、およびそれらの間の角度に関連する実数です。 したがって、それを計算するには、それらの長さとそれらが形成する角度を知る必要があります。
平面を基準として使用して、ベクトルは位置、強度、方向、および方向を示します。 したがって、それは、物体に加えられる力の代表として、力学（物理学）の研究で使用されます。
ベクトルの通常の表現は、ある点で終わる矢印です。 この点の座標は、点O（0,0）から始まるベクトルの座標と呼ばれます。 それを表すためにv =（a、b）と書きます。 したがって、ベクトルv =（1,2）は次のように描かれます。
原点から始まるベクトルの例
このベクトルの長さを計算するには、次の図に示すように、ベクトルによって形成される直角三角形と、x軸（またはy軸）への投影について考えます。
ベクトルvの長さ
ベクトルvの長さはと呼ばれます vベクトルノルム または ベクトルモジュールv そして| v |で表されます。 ベクトルv =（a、b）のノルムは、正確には上の図に示されている三角形の低テヌスの尺度であることに注意してください。 この尺度を計算するには、ピタゴラスの定理を使用します。
| v |2 =2 + b2
| v | =√（a2 + b2 )
2つのベクトル内積
2つのベクトルuとvが与えられると、それらの間の内積は次のように表されます。 そして次のように定義されます：
= | u || v |・cosθ
これは2つのベクトル間の一種の乗算ですが、これら2つのベクトルによって形成される角度が関係するため、一般的な乗算ではないため、積とは呼ばれません。
2つのベクトル間の角度
上記の定義から生じる最初の結果は、2つのベクトル間の角度です。 実数「内積」、「uベクトルノルム」、「vベクトルノルム」を使用して、ベクトルuとvの間の角度を計算できます。 これを行うには、計算を実行するだけです。
= | u || v |・cosθ
=cosθ
| u || v |
したがって、内積をベクトルuとvのノルムで割ると、これら2つのベクトル間の余弦、つまりそれらの間の角度を参照する実数がわかります。
2つのベクトル間の角度が直線の場合、cosθはゼロに等しいことに注意してください。 したがって、上記の製品の結果は次のようになります。
= 0
このことから、2つのベクトルuとvが与えられた場合、それらは次の場合に直交すると結論付けることができます。 = 0.
ベクトル座標から計算された内積
2つのベクトルu =（a、b）とv =（c、d）を考慮すると、uとvの間の内積は次の式で与えられます。
= = a・c + b・d
製品の内部プロパティ
ベクトルu、v、wと実数αが与えられた場合、次の点に注意してください。
私） =
これは、ベクトルの内積が「可換」であることを意味します。
ii） = +
この特性は、加算に対する乗算の分配法則に匹敵します。
iii） = = α
uとvの間の内積に実数αを掛けて計算することは、αvとuの間またはvとαuの間の内積を計算することと同じです。
iv）
vがヌルベクトルの場合、vとvの内積はゼロのみです。
v）
vとvの内積は、常にゼロ以上になります。
ルイス・パウロ・モレイラ
数学を卒業
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm