複素数を含むプロパティ

すべての既存の数は、自然数の場合と同様に、作成時の人間のニーズに従って作成されました。 に関連する問題を解決するために確立された「在庫」と無理数を数え、制御するために作成されました ルーツ。 についての知識を始めたのはまさに根を含む問題でした 複素数。

二次方程式x² + 4x + 5 = 0には実根がありません。 これは、実数のセット内で、この方程式の最初の項と2番目の項に等しいxの値を見つけることが不可能であることを意味します。 この現象は、バースカラの公式の最初から観察されています。

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

Δに負の値が見つかると、√Δ（デルタの根）を計算する必要があるため、バースカラの式を進めることができなくなります。 これで、√– 4を計算できないことがわかりました。これは、それ自体を乗算すると–4になる実数がないためです。

これらのニーズを満たすために、複素数が作成されました。 その作成から、√–4は次のように開発できます。

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

√（– 1）は、新しいタイプの数値として理解されます。 これらすべての数のセットは複素数のセットと呼ばれ、この新しいセットの各代表は次のように定義されます。Aを複素数とすると、

A = ザ・ + B私ここで ザ・そして B は実数であり、i =√（– 1）

この定義では、 ザ・ それはとして知られています Aの実数部 そして B それはとして知られています Aの虚数部。

複素数の性質

実数は、全体的かつ幾何学的に線を表します。 次に、複素数は平面全体を表します。 複素数を表すために使用されるデカルト平面は、アルガンドガウス平面として知られています。

すべての複素数は、座標点（a、b）としてアルガンドガウス平面上で表すことができます。 複素数を表す点から点（0,0）までの距離は、複素数の法と呼ばれます。、定義されている：

A = a + biを複素数とすると、その係数は| A |です。 = a² + b²

複素数には、共役と呼ばれる逆元もあります。 これは次のように定義されます。

A = a + biを複素数とします。

Ā= a –biはこの数の共役です。

プロパティ1： 複素数とその共役の積は、複素数の実数部と虚数部の2乗の合計に等しくなります。 数学的に：

AĀ= a² + b²

例：共役によるA = 2 + 5iの積は何ですか？

計算を行うだけです：a² + b² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. Aの共役を記述し、その後、乗算AĀを実行することを選択した場合、次のようになります。

AĀ=（2 + 5i）（2-5i）

AĀ= 4 – 10i + 10i + 25

AĀ= 4 + 25

AĀ= 29

つまり、提案されたプロパティを使用すると、長い計算やこれらの計算中のエラーを回避できます。

プロパティ2： 複素数Aがその共役に等しい場合、Aは実数です。

A = a + biとします。 A =Āの場合、次のようになります。

a + bi = a --bi

bi = --bi

b = --b

したがって、b = 0

したがって、その共役に等しいすべての複素数も実数であることが必須です。

プロパティ3： 2つの複素数の合計の共役は、これらの数の共役の合計に等しくなります。、 あれは：

_____ _ _ 
A + B = A + B

例：7 + 9iと2+ 4iの合計の共役は何ですか？

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i

最初に追加してから結果の共役を計算するか、最初に共役を実行してから後で結果を追加することができます。

プロパティ4： 2つの複素数の間の積の共役は、それらの共役の積に等しくなります。 つまり：

__ _ _
AB = A・B

例：A = 7i +10とB = 4 + 3iの共役の積は何ですか？

（10 + 7i）・（4 + 3i）=（10 – 7i）・（4– 3i）= 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i

演習の必要性に応じて、最初に乗算して後で共役を計算するか、乗算を実行する前に共役を表示することができます。

プロパティ5： 複素数Aとその共役の積は、Aの絶対値の2乗に等しくなります。 つまり：

AĀ= | A |²

例：A = 2 + 6i、次にAĀ= | A |² =（√a² + b²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. 共役を見つけて、加算よりも乗算の分配法則（小さなシャワーヘッドとして知られている）を介して乗算を実行する必要がないことに注意してください。

プロパティ6： 複素数の絶対値は、その共役の絶対値に等しくなります。 言い換えると：

| A | = |Ā|

例：複素数A = 3 + 4iの共役の絶対値を求めます。

モジュールは同じであるため、共役を見つける必要はないことに注意してください。

| A | =√（a² + b²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

|Ā|が計算された場合、唯一の変更は B 負の二乗。これは正の結果になります。 したがって、結果は25のルートになります。

プロパティ7： AとBが複素数の場合、AとBのモジュラス積はAとBの積のモジュラスに等しくなります。、つまり：

| AB | = | A || B |

例：A = 6 + 8iおよびB = 4 + 3iとすると、| AB |はいくらですか？

モジュラスを計算する前に複素数を乗算する必要はないことに注意してください。 各複素数のモジュラスを個別に計算して、結果を乗算することができます。

| A | =√（6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

| B | =√（4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | A || B | = 10・5 = 50

ルイス・パウロ・モレイラ
数学を卒業

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm