多面体 （ラテン語から ポリ —多く—そして ヘドロン —顔）は 数字三次元 多面体の角度がすべて合同である正多角形の結合によって形成されます。 これらのポリゴンの結合は、多面体を構成する要素を形成します。それらは次のとおりです。 頂点, エッジ そして 顔. ただし、すべての3次元図形が多面体であるとは限りません。この例としては、次のような曲面を持つ図形があります。 丸いボディ.
と呼ばれる多面体の要素を関連付ける数式があります オイラーの関係. さらに、多面体は2つのグループに分けられます：いわゆる多面体 凸 そしてその 凸状ではない. いくつかの多面体は特別な注意に値します、それらは呼ばれます プラトンの多面体: 四面体, 六面体, 八面体, 十二面体 そして 二十面体.
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凸ポリトープ
多面体は、によって形成されると凸状になります ポリゴン 凸、 次の条件が受け入れられるようにします。
- 2つのポリゴン 決して それらは同一平面上にあります。つまり、同じ平面に属していません。
- これらのポリゴンの1つの各辺は、2つのポリゴンにのみ属します。
- これらのポリゴンのいずれかを含む平面は、他のポリゴンを同じ半空間に残します。
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凸多面体の要素
この凸多面体について考えてみましょう。
君は 四辺形 図ではと呼ばれています 顔 多面体の。
君は 五角形 名前が付けられている多面体の面と底辺です 五角形のベース多面体。
各面を形成するセグメントはと呼ばれます エッジ 多面体の。
エッジが交わる点はと呼ばれます 頂点.
線分JCは呼び出されます 対角線 多面体の、によって示される：
JCは対角線の1つです、私たちは理解しています 対角線 多面体の 同じ面に属していない2つの頂点を結ぶ線分.
また、エッジ間に形成される多面体の角度があり、次のように示されます。
多面体の角度は、 三面体 いつ 三 エッジは頂点から発生します。 同様に、それは呼ばれます 四面体、 場合 四 エッジは頂点から発生します。
これから、いくつかの表記法を確立します。それらは次のとおりです。
詳細： 幾何学的立体の計画
凸多面体の特性
プロパティ1
すべての面のエッジの合計は、多面体のエッジの数の2倍に等しくなります。
例
多面体には6つの正方形の面があります。 エッジの数を決定しましょう。
プロパティによると、面のエッジの数に面の数を掛けるだけで、これはエッジの数の2倍になります。 したがって：
プロパティ2
すべての面の頂点の合計は、すべての面のエッジの合計に等しく、これはエッジの数の2倍に等しくなります。
例
5つの四面体角度と4つの六面体角度を持つ多面体。 エッジの数を決定しましょう。
前の例と同様に、2番目のプロパティは、すべての面のエッジの合計がエッジの数の2倍に等しいことを示しています。 エッジの数は、5つの四面体と4つの六面体の角度であるため、5 x4と4x6の積で与えられます。 したがって：
凹面（非凸面）多面体
多面体は、異なる面と直線上で2つの点を取る場合、非凸または凹です。 r これらの点を含むものがすべて多面体に含まれているわけではありません。
多面体では直線（青）が完全ではないため、多面体（ピンク）は凹面または非凸面であることに注意してください。
正多面体
多面体は次の場合に規則的であると言います あなたの顔は正多角形です 互いに等しく、多面体の角度はすべて同じです。
いくつかの例を参照してください。
すべての面が正多角形であることに注意してください。 その面は正方形で形成され、エッジはすべて合同です。つまり、同じ大きさです。
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オイラーの関係
としても知られている オイラーの定理、 結果はLeonhardEuler（1707-1783）によって証明され、 すべて閉じた凸多面体 次の関係が有効です。
プラトンの多面体
次の条件を満たす多面体は、プラトンの多面体と呼ばれます。
オイラー関係は有効です
すべての面に同じ数のエッジがあります
すべての多面体角度には同じ数のエッジがあります
規則的で凸状の多面体、またはプラトンの多面体は5つしかないことが証明されています。それらは次のとおりです。
通常の四面体
四面体は 4つの三角形の面 合同で 4つの三面角 合同。
通常の六面体
六面体は 6つの正方形の面 合同で 8つの三面角 合同。
通常の八面体
八面体は 8つの三角形の面 合同で 6つの四面体角 合同。
正十二面体
十二面体は 12個の五角形の面 合同で 20の角度三面体 合同。
正二十面体
二十面体には 20個の三角形の面 合同で 12の五面体の角度 合同。
解決された演習
1）（エネム） 宝石は32面の凸多面体の形にカットされ、そのうちの20は六面体で、残りは五角形です。 この宝石は、この多面体の頂点の数である年齢を完了して、彼女の誕生日を祝っている女性への贈り物になります。 この女性は完了しています：
a）90年
b）72歳
c）60歳
d）56歳
e）52歳
解決：
与える プロパティ1 凸ポリトープの私達はそれを知っています：
今どのように エッジの数がわかっています それは 顔の数、 オイラー関係を使用できます。
完了する年齢は頂点の数と等しいので、これは60歳です。 代替案c。
2）（PUC-SP） 頂点の数が面の数の5分の3である三角形の面を持つ凸多面体は、いくつのエッジを持っていますか？
a）60
b）30
c）25
d）20
e）15
解決：
凸多面体の特性と運動ステートメントから、次のようになります。
これらの値をオイラー関係に代入すると、次のようになります。
前の方程式を整理し、Fの方程式を解くと、次のようになります。
エッジの方程式で見つかった面の数の値を代入すると、次のようになります。
代替案b
ロブソンルイス
数学の先生
