セット：表記法、表現方法、操作

の理解 セット の研究の主な基礎です代数と数学で非常に重要な概念、など関数と不平等。セットに使用する表記は、常にアルファベットの大文字です（たとえば、セットAまたはセットB）。

の面では セットの表現、 それはによって行うことができます ベン図、単にその要素の特性を説明することによって、要素を列挙することによって、またはそれらのプロパティを説明することによって。セットに関連する問題を処理する場合、次のパフォーマンスを必要とする状況があります。 セット間の操作、ユニオン、交差点、そして違いです。これらすべてを詳細に研究するつもりですか？

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セットの表記と表現

セットの表現には、常に アルファベットの大文字、および要素は常に間にありますキーとはコンマで区切られます。たとえば、1より大きく20より小さい偶数のセットを表すには、次の表記を使用します：P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}。

セットの表現形式

列挙による表現：その要素を列挙することができます。つまり、常に中括弧の間にリストを作成できます。例を参照してください。

A = {1,5,9,12,14,20}

機能の説明：セットの特徴を簡単に説明できます。たとえば、Xをセットとすると、X = {xは5の正の数の倍数}になります。 Y：は1年の月のセットです。
ベン図： セットは、図の形式で表すこともできます。ベン図、これは操作を実行するためのより効率的な表現です。

例：

セットA = {1,2,3,4,5}が与えられると、次のベン図で表すことができます。

セットの要素とメンバーシップの関係

任意の要素が与えられると、その要素は所属セットにまたは 属していません そのセットに。このメンバーシップ関係をより迅速に表すために、記号を使用します（所属していると読む）および∉（所属していないと読む）。たとえば、Pを次のセットとします。ペア番号、7∉Pと12 P。

セットの同等性

セット間の比較は避けられないので、2つのセットが等しいかどうかは、それぞれの要素をチェックして言うことができます。 A = {0,1,3,4,8}およびB = {8,4,3,1,0}とすると、要素の順序が異なっていても、セットAとBは等しいと言えます。 A = B。

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包含関係

2つのセットを比較すると、いくつかの関係に出くわす可能性があり、そのうちの1つは包含関係です。この関係については、いくつかの記号を知る必要があります。

⊃ → 含まれています⊂→ 含まれています

⊅ → ⊄は含まれていません→含まれていません

ヒント：シンボルの開始側は、常に大きい方のセットに面します。

セットAのすべての要素がセットBにも属している場合、Aは ⊂ BまたはそのAがBに含まれている。たとえば、A = {1,2,3}およびB = {1,2,3,4,5,6}です。による表現を行うことも可能です。ベン図, これは次のようになります。

AはBに含まれています：

A⊂B

サブセット

いつ 包含関係つまり、集合Aは集合Bに含まれているので、AはBの部分集合であると言えます。サブセットはセットのままであり、 セットは複数のサブセットを持つことができます、それに属する要素から構築されます。

例：A：{1,2,3,4,5,6,7,8}には、サブセットとしてセットB：{1,2,3};があります。 C：{1,3,5,7}; D：{1}そして集合A {1,2,3,4,5,6,7,8}でさえ、つまり、Aはそれ自体のサブセットです。

ユニタリーセット

名前がすでに示唆しているように、それはそのセットです 要素が1つしかない、前に示したセットD：{1}のように。セットB：{1,2,3}が与えられると、サブセット{1}、{2}、および{3}があり、これらはすべてユニットセットです。

注意：セットE：{0}は、単一の要素「0」を持ち、空のセットではないため、単一のセットでもあります。

あまりにも読んでください： 整数のセット-要素と特性

空集合

さらに示唆に富む名前で、空のセットには要素がなく、任意のセットのサブセットです。空集合を表すために、2つの可能な表現があります。それらはV：{}または記号Øです。

パーツセット

パーツのセットとして、特定のセットのすべての可能なサブセットを知っています。 A：{1,2,3,4}とすると、このセットAのすべてのサブセットを次のセットからリストできます。要素がない（空）場合、要素が1つ、2つ、3つ、4つあるものそれぞれ。

空集合: { };
ユニットセット: {1}; {2};{3}; {4}.
2つの要素を持つセット: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
3つの要素を持つセット: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
4つの要素で設定: {1,2,3,4}.

したがって、Aのパーツのセットを次のように記述することができます。

P：{{}、{1}、{2}、{3}、{4}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4 }、{3,4}、{1,2,3}、{1,3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、{1,2,3,4}}

セットを分割できるパーツの数を調べるには、次の式を使用します。

n [P（A）] = 2^番号

Aの部品数はaによって計算されます効力基数2を番号、何の上に番号セット内の要素の数です。

4つの要素を持つセットA：{1,2,3,4}について考えてみます。このセットの可能なサブセットの合計は次のとおりです。 2⁴ =16.

あまりにも読んでください： 無理数のセットは何ですか？

有限および無限セット

セットを操作すると、次のようなセットが見つかります。 制限付き（有限） と 無制限（無限）. のセット偶数または奇数たとえば、は無限大であり、それを表すために、その要素のいくつかを順番に説明します。次の要素がどうなるかを予測できるように、省略記号を最後の。

I：{1,3,5,7,9,11 ...}

P：{2,4,6,8,10、...}

ただし、有限集合では、開始と終了が定義されているため、省略記号を最後に配置しません。

A：{1,2,3,4}。

宇宙セット

O 宇宙セット、で示される Uは、問題内で考慮しなければならないすべての要素によって形成されるセットとして定義されます。すべての要素はユニバースセットに属し、すべてのセットはユニバースセットに含まれています。

セットでの操作

セットを使用した操作は、和集合、共通部分、および差です。

セットの共通部分

要素が1つ以上のセットに同時に属する場合、共通部分が発生します。 A∩Bを書くとき、私たちは集合Aと集合Bの両方に属する要素を探しています。

例:

A = {1,2,3,4,5,6}およびB = {2,4,6,7,8}を考えます。セットAとセットBの両方に属する要素は、次のとおりです。A∩B= {2 、4,6}。この操作の表現は次のように行われます。

A∩B

セットに共通の要素がない場合、それらは次のように知られています。 互いに素な集合。

A∩B=Ø

セット間の違い

計算する 2つのセットの違い 2つのセットのうちの1つだけに属する要素を探すことです。たとえば、A – Bは、回答として、セットAに属し、セットBに属さない要素で構成されるセットを持っています。

例：A：{1,2,3,4,5,6}およびB：{1,4,6,7,8}。 A∩B= {2,4,6}であることに注意してください。したがって、次のようになります。

a）A-B = {1,3,5}

b）B – A = {7,8}

Unity

2つ以上のセットの和集合は あなたの条件に参加する. 両方のセットで繰り返される要素がある場合、それらは1回だけ書き込まれます。例：A = {1,2,3,4,5}およびB = {4,5,6,7,10,14}。和集合を表すために、記号を使用します（読み取り：AとBの和集合）。

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

これらの操作の詳細といくつかの解決済みの演習を確認するには、以下をお読みください。 セットでの操作.

モルガンの法則

AとBを2つのセットとし、Uをユニバースセットとすると、モルガンの法則によって与えられる2つのプロパティがあります。

（A U B）^ç= A^ç∩B^ç

（A∩B）^ç= A^çU B^ç

例：

セットが与えられた：

U：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A：{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B：{5.10,15,20}

それを確認しましょう（A U B）^ç= A^ç∩B^ç. したがって、次のことを行う必要があります。

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

したがって、（A U B）^ç={1,3,7,9,11,13,17,19}

等式の信憑性を確認するために、演算Aを分析してみましょう。^ç∩B^ç:

THE^ç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

B^ç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

次に、 THE^ç∩B^ç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

（A U B）^ç= A^ç∩B^ç

解決された演習

01) U：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}、A：{1,2,3,4,5,6}、B：{4,5,6、 7,8,9}。それを示す（A∩B）^ç= A^çU B^ç.

解決：

最初のステップ：検索（A∩B）^ç. そのためには、A∩B= {4,5,6}なので、（A∩B）^ç={1,2,3,7,8,9,10}.
2番目のステップ： Aを見つける^çU B^ç. THE^ç：{7,8,9,10}およびB^ç：{1,2,3,10}、つまりA^çU B^ç= {1,2,3,7,8,9,19}.

（A∩B）^ç= A^çU B^ç.

02) Aが1から20までの偶数のセットであることを知っているので、そのセットの要素から構築できるサブセットの総数はいくつですか？

解決：

Pを記述されたセットとすると、Pは{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}になります。したがって、Pの要素数は10です。

パーツ理論のセットによると、Pの可能なサブセットの数は次のとおりです。

2¹⁰=1024

ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生