解決する システム線形 それは自然科学と数学の分野での研究にとって非常に繰り返される仕事です。 未知の値の検索は、線形システムを解くための方法の開発につながりました。 2つの方程式と2つの未知数、およびCrammerのルールとスケーリング。これは、2つの方程式の線形システムを解きますが、より多くの方程式を持つシステムにはより便利です。 線形システムは、1つ以上の未知数を持つ2つ以上の方程式のセットです。
あまりにも読んでください：行列と線形システムの関係は何ですか？
一次方程式
方程式を使った作業は、 未知の未知の値を見つける必要があります. 次の例に示すように、等式の代数式がある場合は方程式と呼び、未知数の最大指数が1の場合は線形として分類されます。
2x + y = 7→2つの未知数を含む線形方程式
a + 4 = -3→1つの未知数を持つ線形方程式
一般的に、線形方程式は次のように記述できます。
ザ・1バツ1 +2バツ2 + a3x3... + a番号バツ番号 = c
複数の線形方程式がある場合、連立方程式として知られています。 2つの未知数の線形システムから始めます。
線形システムの解法
2つの1次方程式と2つの未知数を持つ線形システム
2つの方程式と2つの未知数のシステムを解くために、いくつかあります。 メソッド、最もよく知られている3つは次のとおりです。
- 比較方法
- 加算方法
- 置換方法
3つのいずれか1つで、2つの方程式と2つの未知数の線形連立方程式を解くことができます。 これらの方法 より多くの方程式を持つシステムにはそれほど効率的ではありません、それらを解決する他の特定の方法があるので。
交換方法
交換方法は以下のとおりです。 未知のものの1つを分離します 方程式の1つで 他の式で代入を実行します。
例:
最初のステップ： 未知数の1つを分離します。
Iを最初の方程式、IIを2番目の方程式と呼びます。 2つを分析してみましょう 分離するのが最も簡単な未知のものを選択してください。 で注意してください 方程式 I→x + 2y = 5、xには係数がないため、分離が容易になるため、次のように方程式を書き直します。
I→x + 2y = 5
I→x = 5-2y
2番目のステップ： IIのIを置き換えます。
xだけの式Iができたので、式IIでは、xを5 –2yに置き換えることができます。
II→3x– 5y = 4
xを5-2yに置き換える：
3（5-2y）-5y = 4
方程式に未知数が1つしかないので、それを解いてyの値を見つけることができます。
yの値がわかっているので、式Iのyの値を置き換えることにより、xの値を見つけます。
I→x = 5-2y
x = 5-2・1
x = 5-2
x = 3
したがって、システムの解はS = {3,1}です。
比較方法
比較方法は 2つの方程式で未知数を分離し、これらの値を等しくします.
例:
最初のステップ： Iを最初の方程式、IIを2番目の方程式とし、IとIIの未知数の1つを分離しましょう。 未知のxを分離することを選択するには、次のことを行う必要があります。
2番目のステップ： x = xであるため、2つの新しい方程式を等しくします。
3番目のステップ： 方程式の1つでyの値を-2に置き換えます。
x =-4-3年
x = -4-3（-2）
x = -4 + 6
x = 2
したがって、このシステムの解は、集合S = {2、-2}です。
も参照してください： 関数と方程式の違いは何ですか？
加算方法
加算方法は、方程式の1つのすべての項の乗算を実行することで構成されます。 方程式Iを方程式IIに追加すると、その未知数の1つがゼロに等しくなります.
例:
最初のステップ： 係数が反対になるように方程式の1つを乗算します。
式IIに2を掛けると、式IIには4y、式Iには-4yがあり、 I + IIを追加すると、0yが得られるので、式IIのすべての項に2を掛けて、次のようにします。 起こります。
I→5x– 4y = -5
2・II→2x + 4y = 26
2番目のステップ： 合計I + 2・IIを実行します。
3番目のステップ： x = 3の値を方程式の1つに置き換えます。
3つの1次方程式と3つの未知数を持つ線形システム
システムに3つの未知数がある場合、他の解決方法を採用します。 これらの方法はすべて、係数を行列に関連付けます。最もよく使用される方法は、Crammerのルールまたはスケーリングです。 両方の方法での解像度には、システムの行列表現が必要です。2x2システムでも行列で表現できます。 完全な行列と不完全な行列の2つの表現が考えられます。
例:
システム
で表すことができます 完全なマトリックス
そしてのために 不完全な行列
クラマーのルール
未知数x、y、zの3x3システムの解を見つけるには、 クラマーのルール、不完全な行列とその変動の行列式を計算する必要があります。 したがって、次のことを行う必要があります。
D→システムの不完全な行列の行列式。
Dバツ →システムの不完全な行列の行列式。xの列を独立した項の列に置き換えます。
Dy →システムの不完全行列の行列式。yの列を独立した項の列に置き換えます。
Dz →システムの不完全行列の行列式。zの列を独立した項の列に置き換えます。
したがって、未知数の値を見つけるには、最初に計算する必要があります 行列式 D、Dバツ、Dy システムに関連付けられています。
例:
最初のステップ： Dを計算します。
2番目のステップ： Dを計算するバツ。
3番目のステップ： 次に、xの値を見つけることができます。理由は次のとおりです。
4番目のステップ：Dを計算するy。
5番目のステップ： 次に、yの値を計算できます。
6番目のステップ： xとyの値がわかったので、どちらの行でも、xとyの値を代入し、zを分離することでzの値を見つけることができます。 別のオプションは、Dを計算することですz.
最初の式にx = 0とy = 2を代入します。
2x + y-z = 3
2・0 + 2 – z = 3
0 + 2-z = 3
-z = 3-2
-z = -1（-1）
z = -1
したがって、システムソリューションは入札（0.2、-1）です。
また、アクセス： 連立方程式による問題解決
スケーリング
線形システムを解くもう1つの方法は、スケーリングです。この方法では、未知数を分離するために、完全な行列とライン間の演算のみを使用します。 以下のシステムをスケーリングしてみましょう。
最初のステップ： システムを表す完全なマトリックスを記述します。
Lになる1、L2 私も3 それぞれ行列の1、2、3行目で、L間の演算を実行します。1 私も2 私も1 私も3、その結果、2行目と3行目の最初の列の項がゼロに等しくなります。
行列の2行目を分析して、項a21をゼロにするために、それをL2→-2・L1 + L2の結果に置き換えましょう。
ザ・21 = -2 · 1 + 2 = 0
ザ・22 = -2 · 2 + 1 = -3
ザ・23 = -2 · (-3) + 1 = 7
ザ・24 =-2 · 10 + 3 = -17
だからL2 0 -3 7-17になります。
行列の3行目を分析して、L3→3L1 + Lの結果に置き換えてみましょう。2, 用語をにリセットするために31.
ザ・31 = 3 · 1 – 3 = 0
ザ・32 = 3 · 2 + 2 = 8
ザ・33 = 3 · (-3) +1 = -8
ザ・34 = 3 · 10 – 6 = 24
だからL3 0 8 -824になります。
すべてが8で割り切れるので、L線が3 簡単にするために、8で割りましょう。
L3 →L3 ：8は次のようになります：0 1-13。
したがって、スケーリングされた方程式の新しい行列は次のようになります。
ここでの目標は、3行目の列yをリセットすることです。次に、Lの間で操作を実行します。2 私も3、そのうちの1つの2番目の列をリセットすることを目的としています。
L3をL3→Lに置き換えます2 + 3L3.
ザ・31 = 0 + 3 · 0 = 0
ザ・32 = -3 + 3 · 1 = 0
ザ・33 = 7 + 3 · (-1) = 4
ザ・34 = -17 + 3 · 3 = -8
だからL3 0 0 4-8になります。
新しいスケーリングされた行列は次のようになります。
ここで、この行列を再びシステムとして表現し、x、y、およびzを列に追加すると、次のことがわかります。
次に、未知数のそれぞれの値を見つけることができます。 式IIIを分析すると、次のことが必要になります。
z = -2の場合、zの値を2番目の方程式に代入しましょう。
最後に、最初の式で、yとzの値を代入してxの値を見つけましょう。
も参照してください： 一次不等式システム–それをどのように解決するか？
線形システム分類
線形システムは線形方程式のセットであり、いくつかの未知数といくつかの方程式が含まれる場合があります。 方程式の数に関係なく、それを解くにはいくつかの方法があります。 3つあります 評価 線形システムの場合。
- 決定された可能なシステム（SPD）： 単一のソリューションがある場合。
- 未定の可能なシステム（SPI）： それが無限の解決策を持っているとき。
- 不可能なシステム（SI）： 解決策がないとき。
解決された演習
質問1 （IFG 2019）底辺の測定値の合計と、三角形の底辺に対する高さが168 cmに等しく、差が24cmに等しいことを考慮してください。 ベースの測定値とこのベースの測定値に対する高さの測定値は、それぞれ次のように述べるのが正しいです。
a）72cmおよび96cm
b）144cmおよび24cm
c）96cmおよび72cm
d）24cmおよび144cm
解決
代替C。
h→高さおよびb→底辺とすると、次のシステムがあります。
加算の方法により、次のことを行う必要があります。
hの値を見つけるために、最初の方程式にb = 96cmを代入してみましょう。
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168-96
h = 72 cm
質問2 次の線形システムを表す不完全な行列は次のとおりです。
解決
代替C。
不完全な行列は、x、y、zの係数を持つ行列であるため、3x3の行列になります。 選択肢を分析すると、正しい符号を持つ3x3行列を含むものは文字Cです。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm