代数の基本定理 多項式 それを保証します 「すべての次数の多項式 n≥1 少なくとも1つの複雑なルートがあります」. この定理の証明は、1799年に数学者フリードリヒガウスによって行われました。 それから、私たちはデモンストレーションすることができます 多項式分解定理、これは、任意の多項式を1次因子に分解できることを保証します。 次の多項式を取る p（x） グレードの n≥1および番号 ≠ 0:
p（x）= a番号 バツ番号 +n-1 バツn-1 +…+1バツ1 +0
代数の基本定理を通して、この多項式には少なくとも1つの複素数の根があると言えます。 u1、 そのような p（u1) = 0. O ダランベールの定理 に 多項式の除算 次のように述べています p（u1) = 0, その後 p（x） で割り切れる （x-u1)、商になります 何1（バツ）、これは次数多項式です （n-1）、 それは私たちに言うように導きます：
p（x）=（x-u1). 何1（バツ）
この方程式から、2つの可能性を強調する必要があります。
u = 1の場合 そして 何1（バツ） 次数の多項式です （n-1）、その後 何1（バツ） 学位を持っている 0. の支配的な係数として p（x） é ザ・番号, 何1（バツ） タイプの定数多項式です 何1（バツ）=ザ・番号. だから私たちは持っています：
p（x）=（x-u1). 何1（バツ）
（x）=（x-u1). ザ・番号
p（x）= a番号 . （x-u1)
しかし、 u≥2、次に多項式 何1 学位を持っている n-1≥1 そして代数の基本的な定理が成り立つ。 多項式は 何1 少なくとも1つのルートがあります 番号2、それは私たちにそれを言うように導きます 何1 次のように書くことができます：
何1（x）=（x-u2). 何2（バツ）
しかし、どのように p（x）=（x-u1). 何1（バツ）、 次のように書き直すことができます。
p（x）=（x-u1). （x-u2). 何2（バツ）
このプロセスを連続して繰り返すと、次のようになります。
p（x）= a番号. （x-u1). （x-u2）…（x – u番号)
| したがって、すべての多項式または多項式は次のように結論付けることができます。 p（x）= 0 グレードの n≥1 正確に所有する 番号 複雑なルーツ。 |
例： ありなさい
p（x） 次数の多項式 5、そのルーツが – 1, 2, 3, – 2 そして 4. この多項式を1次の因子に分解して、次のことを考慮して記述します。 優勢係数 に等しい 1. 拡張形式で記述する必要があります。もし – 1, 2, 3, – 2 そして 4 は多項式の根なので、の差の積は バツ これらのルートのそれぞれについて、 p（x）:
p（x）= a番号。（x + 1）。（x – 2）。（x – 3）。（x + 2）。（x – 4）
支配的な係数の場合 ザ・番号 = 1、 我々は持っています：
p（x）= 1.（x + 1）。（x – 2）。（x – 3）。（x + 2）。（x – 4）
p（x）=（x + 1）。（x – 2）。（x – 3）。（x + 2）。（x – 4）
p（x）=（x²-x-2）。（x-3）。（x + 2）。（x-4）
p（x）=（x³–4x² + x + 6）。（x + 2）。（x – 4）
p（x）=（x4 –2x³–7x² + 8x + 12）。（x – 4）
p（x）= x5 –6倍4 +x³+36x²-20x-48
アマンダ・ゴンサルベス
数学を卒業
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm