逆行列：それは何ですか、演習を見つける方法

の概念 逆行列 数の逆数の概念に非常に近いです。数の逆数であることを覚えておきましょう番号は数です番号^-1、ここで、2つの間の積はのニュートラル要素に等しい乗算、つまり、番号1です。既に 行列Mの逆行列は行列Mです^-1、ここで、製品M・M^-1単位行列Iに等しい_番号、これは、行列乗算の中立要素にすぎません。

行列が逆行列を持つためには、それが正方形である必要があり、さらに、その行列式がゼロとは異なる必要があります。そうでない場合、逆行列はありません。逆行列を見つけるには、行列方程式を使用します。

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単位行列

逆行列が何であるかを理解するには、最初に単位行列を知る必要があります。単位行列として正方行列Iを知っています_番号ここで、主対角線のすべての要素は1に等しく、他の項は0に等しくなります。

THE 単位行列は、行列間の乗算の中立的な要素です。、つまり、本部次数nのM、行列Mと行列Iの積_番号行列Mに等しい。

M・私_番号 = M

逆行列の計算方法

Mの逆行列を見つけるには、行列方程式を解く必要があります。

んん^-1 =私_番号

例

Mの逆行列を見つけます。

逆行列がわからないので、この行列を代数的に表現しましょう。

これらの行列間の積はIに等しくなければならないことがわかっています₂:

それでは、行列方程式を解いてみましょう。

問題を2つに分けることが可能ですのシステム方程式. 最初は行列M・Mの最初の列を使用します^-1 単位行列の最初の列。したがって、次のことを行う必要があります。

システムを解決するために、₂₁ 式IIに代入し、式Iに代入します。

式Iに代入すると、次のことが必要になります。

の値を見つけるにはどうすればよいですか₁₁、次に、の値を見つけます₂₁:

の価値を知る₂₁ そしてその₁₁、次に、2番目のシステムを設定することにより、他の用語の値を見つけます。

を分離する₂₂ 式IIIでは、次のことを行う必要があります。

3位₁₂ +1位₂₂= 0

ザ・₂₂ = –3番目₁₂

式IVに代入する：

5位₁₂ +2番目₂₂=1

5位₁₂ + 2・（-3番目₁₂) = 1

5位₁₂ – 6日₁₂ = 1

-a₁₂ = 1 ( – 1)

ザ・₁₂ = – 1

の価値を知る₁₂、の値を見つけます₂₂:

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ザ・₂₂ = –3番目₁₂

ザ・₂₂ = – 3 · ( – 1)

ザ・₂₂ = 3

これで、行列Mのすべての項がわかりました。^-1、それを表すことが可能です：

あまりにも読んでください： 行列の加算と減算

逆行列のプロパティ

逆行列を定義した結果として生じるプロパティがあります。

1物件目：行列Mの逆行列^-1 行列Mに等しい。逆行列の逆行列は常に行列自体、つまり（M^-1)^-1 = M、Mがわかっているため^-1 ・m = I_番号したがって、M^-1 はMの逆数であり、MもMの逆数です。^-1.
2番目のプロパティ：単位行列の逆行列はそれ自体です：I^-1 = I、単位行列の積自体が単位行列、つまりIになるため_番号・私_番号 =私_番号.
3番目のプロパティ：の逆 2つの行列の積あなたは逆元の積に等しい：